Qual o tempo de retorno de uma chuva de 111 mm em 2 horas considerando a equação de chuvas intensas de Curitiba?
i=\frac{5726,64 . T_{r}^{0,159}}{\left(t_{c}+41\right)^{1,041}}

Passo 1

O enunciado pede: “Qual o tempo de retorno de uma chuva de 111 mm em 2 horas considerando a equação de chuvas intensas de Curitiba?”
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Profundidade da chuva: 111 mm (essa é a chuva acumulada no intervalo).
  • Duração da chuva: 2 horas (esse é o t_c na fórmula).
  • Equação dada:
i=\frac{5726,64 \cdot T_{r}^{0,159}}{\left(t_{c}+41\right)^{1,041}}
Pergunta explícita: encontrar o tempo de retorno T_{r} (unidade presumida: anos) que corresponde a uma chuva acumulada de 111 mm em 2 horas.

Passo 2

Transformar a profundidade acumulada em intensidade média para usar na fórmula. Intensidade média i (em \mathrm{mm/h}) é definida como chuva acumulada dividida pela duração (em horas). Aplicando ao caso:
i=\frac{111}{2}
Logo,
i=55,5\\ \mathrm{mm/h}.
Explicação curta: intensidade é “quantos milímetros caem por hora, em média” — por isso dividimos a profundidade pelo tempo.

Passo 3

Isolar T_{r} na fórmula. Começamos escrevendo a equação com i conhecido:
55,5=\frac{5726,64\cdot T_{r}^{0,159}}{(t_{c}+41)^{1,041}}
Substituindo t_{c}=2:
55,5=\frac{5726,64\cdot T_{r}^{0,159}}{(2+41)^{1,041}}
55,5=\frac{5726,64\cdot T_{r}^{0,159}}{43^{1,041}}

Passo 4

Rearranjar para obter T_{r}^{0,159}. Multiplicando ambos os lados por 43^{1,041} e dividindo por 5726,64, temos:
T_{r}^{0,159}=\frac{55,5\cdot 43^{1,041}}{5726,64}
Aqui explico a ideia: para “desfazer” uma multiplicação e divisão, fazemos as operações inversas em ambos os lados; assim isolamos a potência contendo T_{r}.

Passo 5

Calcular o lado direito numericamente passo a passo:
  • Calcular 43^{1,041}. Usando propriedades de exponenciação:
43^{1,041}\approx 50,17\quad(\text{aproximação numérica})çãé
  • Multiplicar por 55,5:
55,5\cdot 43^{1,041}\approx 55,5\cdot 50,17 \approx 2784,41
  • Dividir por 5726,64:
T_{r}^{0,159}\approx \frac{2784,41}{5726,64}\approx 0,48622
Observação didática: fiz as contas em etapas para que dê pra acompanhar sem calculadora sofisticada — primeiro aproximando a potência, depois multiplicando e dividindo.

Passo 6

Desfazer a potência T_{r}^{0,159}. Para isolar T_{r} aplicamos a potência inversa: elevamos ambos os lados à razão 1/0,159. Em termos algébricos:
T_{r}=\left(0,48622\right)^{\frac{1}{0,159}}
Explicação curta sobre o porquê: se x^{a}=b, então x=b^{1/a}. Aqui a=0,159.

Passo 7

Calcular numericamente T_{r}. Primeiro note que \dfrac{1}{0,159}\approx 6,2893. Então:
T_{r}\approx 0,48622^{6,2893}\approx 0,0108\\ \text{(anos, aproximadamente)}.
Converter para unidades mais intuitivas:
  • Em dias: 0,0108\cdot 365\approx 3,93\\ \text{dias}.
  • Em horas: 3,93\cdot 24\approx 94,3\\ \text{horas}.
Breve verificação: se colocarmos T_{r}\approx 0,0108 na fórmula original obtemos intensidade próxima de 55,5\\ \mathrm{mm/h}, o que confirma consistência numérica.

Resposta

T_{r}\approx 0,0108\\ \text{anos} \approx 3,93\\ \text{dias} \approx 94,3\\ \text{horas}

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