Explique a relação que existe entre
período de retorno e intensidade da chuva
período de retorno e intensidade da chuva
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar a relação entre período de retorno e intensidade da chuva.
Informações relevantes que temos (implícitas na pergunta):
Informações relevantes que temos (implícitas na pergunta):
- Existe uma noção probabilística de eventos extremos (chuvas intensas) que se repetem ao longo dos anos.
- Há duas grandezas que queremos relacionar: o período de retorno (uma medida de raridade) e a intensidade da chuva (por exemplo, em
ou profundidade de chuva em para uma certa duração). - Não foi dada uma fórmula específica; portanto vamos explicar o conceito, como estimar na prática a relação a partir de dados, exemplos numéricos simples e formas empíricas usadas em hidrologia (IDF).
Passo 2
Definição do período de retorno (conceito probabilístico) — a base do que vem a seguir.
- Seja
a variável aleatória que representa a intensidade máxima de chuva em um ano (ou a profundidade máxima em uma duração fixa). - A probabilidade anual de excedência de um limiar
é . Isso significa: em qualquer ano, a chance de ocorrer uma chuva com intensidade maior que é . - O período de retorno
é definido como o inverso dessa probabilidade de excedência:
Interpretação prática: um evento com período de retorno
anos tem, em média, probabilidade
de ocorrer num dado ano — ou seja, espera-se que ele seja “ultrapassado” uma vez a cada
anos, em média. Isso não garante regularidade (pode ocorrer duas vezes seguidas ou ficar décadas sem ocorrer), é uma média estatística.
Passo 3
O que é “intensidade da chuva” e relação com duração.
- Intensidade costuma ser medida em
. Se a questão fala em profundidade para uma duração (em horas), então a profundidade e a intensidade média estão relacionadas por
ou seja, intensidade é profundidade dividida pela duração.
- Em hidrologia trabalha-se muito com séries de máximos anuais para uma dada duração
(por exemplo máximas de 1 h, 6 h, 24 h). Para cada duração obtemos uma distribuição distinta de intensidades ou profundidades.
Passo 4
Como relacionar matematicamente retorno e intensidade (a ideia teórica).
- Seja
a função de distribuição acumulada (CDF) de : . A probabilidade de excedência de é . - Para achar a intensidade associada a um período de retorno
(ou seja, o limiar que é excedido em média 1 vez em anos) resolvemos
- Isolando
temos a relação de inversa da CDF (quantil):
Essa é a fórmula conceitual: dado
, a intensidade correspondente é o quantil
da distribuição anual de intensidades.
Passo 5
Como estimar isso na prática a partir de dados (muito passo-a-passo, como você pediu).
- Colete uma série de
anos das máximas anuais de intensidade para uma duração fixa . Ex.: suponha anos e as máximas anuais (em ) sejam
- Ordene em ordem decrescente e atribua o posto (rank)
do maior ( ) até o menor ( ). No exemplo acima já está ordenado. - Use uma posição de plotagem (uma forma simples e muito usada é a posição de Weibull) para estimar a probabilidade empírica de excedência do valor com posto
:
Então a probabilidade anual de excedência do valor de posto
é aproximadamente
.
4) O período de retorno empírico associado ao posto é
4) O período de retorno empírico associado ao posto
Aplicando ao exemplo com
: para
(intensidade
) temos
para
(intensidade
) temos
e assim por diante. Isso monta uma tabela
empírica.
5) Se você precisa de para um
que não está exatamente na tabela, interpola-se ou ajusta-se um modelo (ver passo seguinte).
5) Se você precisa de
Passo 6
Modelos empíricos e paramétricos (como obter uma expressão funcional que liga
e
).
- Uma forma simples e frequentemente usada (muito didática) é modelar a relação por uma lei de potência para intensidade versus retorno (para uma duração fixa):
onde
e
são parâmetros a ajustar pelos dados. Essa forma é prática porque é simples e crescente em
se
.
- Para ajustar
e toma-se logaritmo em ambos os lados:
Assim o ajuste vira uma regressão linear entre
(variável dependente) e
(variável independente). Faz-se mínimos quadrados ou ajuste por dois pontos para um cálculo rápido.
- Exemplo rápido, seguindo o dado do passo anterior: suponha que dos dados estimamos que para
anos a intensidade é e para anos é . Então
Dividindo as equações:
Logo
E então
Logo um modelo aproximado é
Com isso você pode estimar, por exemplo,
(intensidade associada ao período de retorno de 25 anos) calculando
e multiplicando por
. Esse procedimento é exatamente o que se faz para gerar curvas IDF (intensidade-duração-frequência) — só que aí inclui também a dependência com a duração
.
Passo 7
A forma completa usada em hidrologia: curvas IDF (intensidade–duração–frequência).
- Na prática, a intensidade depende tanto do período de retorno
quanto da duração : escrevemos uma relação geral . Uma forma empiricamente usada é
com parâmetros
ajustados aos dados. Aqui
indica que, para a mesma rareza
, a intensidade média diminui quando a duração
aumenta (chuva espalhada por mais horas tem intensidade média menor).
- Outra abordagem comum é ajustar distribuições de extremos (por ex. Gumbel) à série de máximas anuais e obter os quantis
por inversão da CDF paramétrica. Essas abordagens são mais formais estatisticamente e permitem estimar incerteza.
Passo 8
Resumo prático e implicações para projeto (por que isso importa).
- Resumo conceitual: para uma duração fixa
, a intensidade associada a um maior período de retorno é sempre maior: eventos mais raros (maior ) correspondem a intensidades maiores. Matematicamente, é o quantil de ordem da distribuição anual de intensidades:
- Em projetos de drenagem urbana, barragens, etc., escolhe-se um
de projeto (por exemplo anos) e usa-se a intensidade (ou a profundidade correspondente) para dimensionar equipamentos. A escolha do reflete um trade-off custo/risco. - Atenção: há incerteza grande em estimativas de caudas com poucas observações; por isso ajusta-se distribuições ou usa-se longas séries para reduzir erro.
Resposta
Para uma duração fixa
, a intensidade de chuva associada a um período de retorno
é o quantil de ordem
da distribuição anual de intensidades, ou seja
onde
é a CDF de
. Interpretação: eventos com maior
(mais raros) têm maiores intensidades. Na prática estima-se essa relação a partir de séries de máximas anuais (posição de Weibull
,
) e ajusta-se um modelo empírico (por exemplo
ou a forma IDF
) para obter intensidades para os períodos de retorno de projeto.