Uma tensão \mathrm{V}=10 \mid \underline{0}^{\circ} de freqüência 1000 \mathrm{rad} / \mathrm{s} é aplicada a um circuito em série constituído de \mathrm{R}=5 \mathrm{ohms}, \mathrm{C}=20 \mu \mathrm{~F} e uma indutância variável L . Ajusta-se L até que a tensão no resistor seja máxima. Achar a tensão em cada elemento.
R: \mathrm{V}_{\mathrm{R}}=10 \leq 0^{\circ} ; \mathrm{V}_{\mathrm{L}}=100\left|\underline{90^{\circ}} ; \mathrm{V}_{\mathrm{C}}=100\right| \underline{-90^{\circ}}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (lista clara do que temos e do que é pedido):
  • Fonte senoidal de tensão: \mathrm{V}=10\angle 0^{\circ} (em volts), com frequência angular \omega=1000\\ \mathrm{rad/s}.
  • Circuito em série com:
    • Resistência \mathrm{R}=5\\ \Omega.
    • Capacitância \mathrm{C}=20\\ \mu\mathrm{F}.
    • Indutância variável \mathrm{L} (a ajustar).
  • Ajusta-se \mathrm{L} de modo que a tensão no resistor seja máxima.
  • Pedidos: encontrar a tensão em cada elemento do circuito (ou seja, \mathrm{V}_R,\\ \mathrm{V}_L,\\ \mathrm{V}_C), com suas magnitudes e ângulos.

Passo 2

Entendendo o que significa “tensão no resistor máxima” num circuito série e a estratégia:
  • Em série a corrente é a mesma em todos os elementos. Assim a tensão no resistor é \mathrm{V}_R = I\cdot R. Como R é fixo, a tensão \mathrm{V}_R é máxima quando a intensidade de corrente I é máxima.
  • A corrente do circuito vale \displaystyle I=\dfrac{V}{Z}, onde Z é a impedância total em série.
  • Portanto, para maximizar |I| precisamos minimizar |Z|. No circuito série RLC, Z=R+j(X_L-X_C). O módulo |Z| é mínimo quando a parte imaginária X_L-X_C se anula, isto é quando X_L=X_C. Essa condição é a condição de ressonância em um circuito série.
  • Vou usar essa condição para achar o valor de L e então calcular correntes e tensões.

Passo 3

Relembrando fórmulas úteis e calculando a reatância do capacitor:
  • Reatância indutiva: X_L=\omega L.
  • Reatância capacitiva: X_C=\dfrac{1}{\omega C}.
  • Primeiro calculo X_C usando C=20\\ \mu\mathrm{F}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{F} e \omega=1000\\ \mathrm{rad/s}:
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{1000\cdot 20\times10^{-6}}=\frac{1}{0{,}02}=50\\ \Omega.

Passo 4

Ajuste de \mathrm{L} para maximizar \mathrm{V}_R (condição de ressonância) e cálculo de L:
  • Condição: X_L=X_C\Rightarrow \omega L=\dfrac{1}{\omega C}.
  • Isolando L:
L=\frac{1}{\omega^2 C}.
  • Substituindo valores:
L=\frac{1}{(1000)^2\cdot 20\times10^{-6}}=\frac{1}{1{,}000{,}000\cdot 20\times10^{-6}}=\frac{1}{20}=0{,}05\\ \mathrm{H}=50\\ \mathrm{mH}.
  • Nesse ponto X_L=\omega L=1000\cdot 0{,}05=50\\ \Omega, igual a X_C como esperado.

Passo 5

Impedância total e corrente do circuito na condição ajustada:
  • A impedância total em série é
Z=R+j(X_L-X_C)=5+j(50-50)=5+j0=5\\ \Omega\\ (\text{real}).
  • A corrente fasorial é
I=\frac{V}{Z}=\frac{10\angle 0^{\circ}}{5}=2\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{A}.
  • Comentário didático: como a impedância ficou puramente resistiva, a corrente está em fase com a tensão da fonte (mesmo ângulo).

Passo 6

Cálculo das tensões em cada elemento (módulo e ângulo), com explicação das fases:
  • Tensão no resistor:
\mathrm{V}_R=I\cdot R=2\angle 0^{\circ}\cdot 5=10\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{V}.
Explicação: \mathrm{V}_R está em fase com I, portanto 0° de defasagem aqui.
  • Tensão no indutor:
    • Em fasores, a queda no indutor é jX_L I. Multiplicar por j corresponde a adicionar +90^\circ ao ângulo.
    • Módulo: |\mathrm{V}_L|=I\cdot X_L=2\cdot 50=100\\ \mathrm{V}.
    • Ângulo: 0^\circ+90^\circ=90^\circ.
\mathrm{V}_L=100\angle 90^{\circ}\\ \mathrm{V}.
  • Tensão no capacitor:
    • Em fasores, a queda no capacitor é -jX_C I (ou I\cdot(-jX_C)), que corresponde a adicionar -90^\circ ao ângulo.
    • Módulo: |\mathrm{V}_C|=I\cdot X_C=2\cdot 50=100\\ \mathrm{V}.
    • Ângulo: 0^\circ-90^\circ=-90^\circ.
\mathrm{V}_C=100\angle -90^{\circ}\\ \mathrm{V}.
  • Verificação rápida por soma fasorial:
\mathrm{V}_R+\mathrm{V}_L+\mathrm{V}_C = 10 + j100 - j100 = 10\angle 0^{\circ},
que coincide com a tensão da fonte, confirmando coerência.

Passo 7

Resumo didático-final e interpretação curta:
  • Ajustando L para 50\\ \mathrm{mH} o circuito fica em ressonância e a impedância total mínima é 5\\ \Omega, daí a corrente máxima |I|=2\\ \mathrm{A}.
  • As tensões nos reativos (indutor e capacitor) podem ser muito maiores que a tensão da fonte, porque elas se cancelam em fase (soma vetorial), enquanto a queda no resistor fornece a tensão resultante em fase com a fonte.

Resposta

\mathrm{V}_R=10\angle 0^{\circ}\\ \mathrm{V}
\mathrm{V}_L=100\angle 90^{\circ}\\ \mathrm{V}
\mathrm{V}_C=100\angle -90^{\circ}\\ \mathrm{V}

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