Em um circuito em série \mathrm{R}=5 \mathrm{ohms}, \mathrm{L}=20 \mathrm{mH} e numa capacitância variável aplica-se uma tensão de freqüência \mathrm{f}=1000 \mathrm{~Hz}. Determinar C para se obter ressonância em série.
R. 1,2665 \mu \mathrm{~F}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Resistência: R=5\\ \mathrm{\Omega}.
  • Indutância: L=20\\ \mathrm{mH}.
  • Capacitância: C variável (é o que devemos determinar).
  • Frequência da fonte: f=1000\\ \mathrm{Hz}.
O que o problema pede:
  • Determinar o valor de C que faz com que o circuito série atinja ressonância.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Em um circuito série RLC, a reatância indutiva X_L e a reatância capacitiva X_C valem, respectivamente:
X_L=\omega L
X_C=\frac{1}{\omega C}
onde:
  • \omega é a frequência angular em rad/s; \omega=2\pi f.
  • L é a indutância em henry ( \mathrm{H}).
  • C é a capacitância em farad ( \mathrm{F}).
  • Definição de ressonância em série: ocorre quando as reatâncias se anulam, ou seja, quando a parte imaginária da impedância é zero. Na prática isso significa:
X_L = X_C.
  • Observação importante (motivação): o valor de R não muda a condição de frequência de ressonância — ele só altera a largura da ressonância (fator de qualidade). Portanto podemos ignorar R ao calcular C para ressonância.

Passo 3

Usando a condição de ressonância X_L=X_C e as expressões acima, montamos a equação:
\omega L = \frac{1}{\omega C}.
Agora resolvemos essa equação para C. Multiplicando ambos os lados por \omega C e depois isolando C:
\omega^2 L = \frac{1}{C}
C = \frac{1}{\omega^2 L}.
Essa é a fórmula que dá a capacitância necessária para ressonância em função de \omega e L.

Passo 4

Vamos calcular numericamente passo a passo usando os dados do enunciado.
Primeiro a frequência angular:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 1000 = 2000\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Agora \omega^2:
\omega^2 = (2000\pi)^2 = 4\times10^6\pi^2.
Multiplicando por L. Como L=20\\ \mathrm{mH}=20\times10^{-3}\\ \mathrm{H},
\omega^2 L = 4\times10^6\pi^2 \cdot 20\times10^{-3} = 8\times10^{4}\pi^2 = 80000\pi^2.
Portanto, pela fórmula do Passo 3:
C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{80000\pi^2}\\ \mathrm{F}.

Passo 5

Agora fazemos a aproximação numérica para obter o valor em microfarads:
\pi^2 \approx 9{,}8696,
80000\pi^2 \approx 80000\times 9{,}8696 \approx 789568,
C \approx \frac{1}{789568}\\ \mathrm{F} \approx 1{,}2665\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
Convertendo para microfarads ( 1\\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\\ \mathrm{F}):
C \approx 1{,}2665\\ \mu\mathrm{F}.

Resposta

C \approx 1{,}2665\\ \mu\mathrm{F}

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