Dado um circuito em série em que \mathrm{R}=100 ohms, \mathrm{C}=40 \mu \mathrm{~F} e \mathrm{L}=0,5 \mathrm{H}, calcular a freqüência de ressonância.
R: 223,6068 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá um circuito série com os valores:
  • R = 100\\ \Omega
  • C = 40\\ \mu\mathrm{F}
  • L = 0{,}5\\ \mathrm{H}
O que se pede: calcular a frequência de ressonância (em rad/s). O enunciado já sugere uma resposta numérica: 223,6068\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}. Neste passo apenas listei os dados e o que é pedido; a resolução começa no passo seguinte.

Passo 2

Entender o que significa “frequência de ressonância” em um circuito série RLC (explicação didática).
  • Num circuito série RLC, cada componente tem uma reatância que depende da frequência angular \omega (em rad/s).
  • A reatância indutiva é dada por \,X_L=\omega L\,. Aqui \,X_L\, tem unidades de ohms, \omega é a frequência angular e L é a indutância em henry.
  • A reatância capacitiva é dada por \,X_C=\dfrac{1}{\omega C}\,. Aqui \,C\, é a capacitância em farads.
  • Na ressonância de um circuito série RLC essas reatâncias se cancelam, ou seja, \,X_L=X_C\,. É esse equilíbrio que define a frequência de ressonância.
    Observação importante e útil para prova: a resistência R afeta a largura da ressonância (fator de qualidade), mas não muda a frequência de ressonância ideal obtida por X_L=X_C. Então R não entra na fórmula da frequência de ressonância.

Passo 3

Escrever a condição matemática de ressonância e isolar \omega.
A condição é
\omega L = \frac{1}{\omega C}.
Multiplicando ambos os lados por \omega e isolando,
\omega^2 = \frac{1}{LC}.
Tomando raiz quadrada positiva (frequência angular é positiva),
\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • \omega é a frequência angular em \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
  • L é a indutância em henry ( \mathrm{H}).
  • C é a capacitância em farad ( \mathrm{F}).
    Esta é a fórmula que vamos aplicar.

Passo 4

Converter unidades e substituir os valores numéricos.
  • A capacitância dada é C = 40\\ \mu\mathrm{F}. Em farads:
C = 40\times10^{-6}\\ \mathrm{F} = 4\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.
  • A indutância é L = 0{,}5\\ \mathrm{H}.
Agora calcular o produto LC:
LC = \left(0{,}5\right)\left(4\times10^{-5}\right) = 2\times10^{-5}.

Passo 5

Calcular \omega usando \omega = 1/\sqrt{LC}.
Primeiro calcular 1/(LC):
\frac{1}{LC} = \frac{1}{2\times10^{-5}} = 5\times10^{4}.
Agora a raiz quadrada:
\omega = \sqrt{5\times10^{4}}.
Separando potências de dez:
\sqrt{5\times10^{4}} = \sqrt{5}\cdot\sqrt{10^{4}} = \sqrt{5}\cdot10^{2}.
Como \sqrt{5}\approx 2{,}2360679, obtemos
\omega \approx 2{,}2360679\times10^{2} = 223{,}60679\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
Dica prática para prova: reconhecer \sqrt{5\times10^{4}}=\sqrt{50\,000} e lembrar que \sqrt{5}\approx2{,}236 permite fazer o cálculo rapidamente sem calculadora até a precisão indicada.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida.
  • A frequência de ressonância encontrada não depende de R, concordando com a explicação do passo 2.
  • O valor numérico obtido coincide com o valor sugerido no enunciado 223{,}6068\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s} (pequenas diferenças de arredondamento são normais).

Resposta

223{,}6068\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados