Usar a integral de convolução para calcular a resposta impulso
para a entrada
:
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece:
- A entrada
. - A resposta ao impulso
.
O que precisamos calcular: a saída do sistema
, isto é a convolução entre
e
,
Todas as funções são multiplicadas por
(a função degrau), ou seja são causais, o que vai simplificar os limites de integração.
Passo 2
Vou relembrar a definição prática da convolução para sinais causais. Se
para
e
para
, então
para
, e
para
. Isso vem porque fora do intervalo
pelo menos um dos fatores é zero.
Passo 3
Agora substituo as expressões dadas em
. Vou explicitar que pego a forma de
e a forma de
:
- Peguei
, mas como será integrado entre e , posso remover o porque vale nesse intervalo. - Para
. No intervalo de integração com , temos , então também .
Portanto, para
,
Passo 4
Simplifico o integrando: combino os expoentes.
Como
é independente de
, tiro-o fora da integral:
Passo 5
Agora calculo a integral
. Vou separar em duas integrais:
Calculo cada uma:
- Para a primeira,
- Para a segunda, uso integração por partes. Escolho
e . Então e . Pela fórmula ,
Isso é
A última integral é
. Então
Passo 6
Somando as duas partes:
Agrupando termos constantes e expoenciais:
Passo 7
Volto para
multiplicando esta integral:
E para
temos
(causalidade). Posso escrever a resposta de forma compacta usando
: