Usar a integral de convolução para calcular a resposta impulso h(t) para a entrada x(t) :
x(t)=(2+t) e^{(-2 t)} u(t)
h(t)=e^{(-t)} u(t)

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece:
  • A entrada x(t)= (2+t) e^{-2t} u(t).
  • A resposta ao impulso h(t)= e^{-t} u(t).
O que precisamos calcular: a saída do sistema y(t), isto é a convolução entre x(t) e h(t),
y(t) = (x*h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Todas as funções são multiplicadas por u(t) (a função degrau), ou seja são causais, o que vai simplificar os limites de integração.

Passo 2

Vou relembrar a definição prática da convolução para sinais causais. Se x(t)=0 para t<0 e h(t)=0 para t<0, então
y(t)=\int_{0}^{t} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau,
para t\ge 0, e y(t)=0 para t<0. Isso vem porque fora do intervalo \tau\in[0,t] pelo menos um dos fatores é zero.

Passo 3

Agora substituo as expressões dadas em \int_{0}^{t} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau. Vou explicitar que pego a forma de x(\tau) e a forma de h(t-\tau):
  • Peguei x(\tau)=(2+\tau)e^{-2\tau}u(\tau), mas como \tau será integrado entre 0 e t\ge0, posso remover o u(\tau) porque vale 1 nesse intervalo.
  • Para h(t-\tau)=e^{-(t-\tau)}u(t-\tau). No intervalo de integração \tau\in[0,t] com t\ge0, temos t-\tau\ge0, então também u(t-\tau)=1.
Portanto, para t\ge 0,
y(t)=\int_{0}^{t} (2+\tau)e^{-2\tau}\,e^{-(t-\tau)}\,d\tau.

Passo 4

Simplifico o integrando: combino os expoentes.
(2+\tau)e^{-2\tau}\,e^{-(t-\tau)}=(2+\tau)e^{-2\tau -t +\tau}=(2+\tau)e^{-t-\tau}=e^{-t}(2+\tau)e^{-\tau}.
Como e^{-t} é independente de \tau, tiro-o fora da integral:
y(t)=e^{-t}\int_{0}^{t} (2+\tau)e^{-\tau}\,d\tau,\qquad t\ge 0.

Passo 5

Agora calculo a integral \displaystyle \int_{0}^{t} (2+\tau)e^{-\tau}\,d\tau. Vou separar em duas integrais:
\int_{0}^{t} (2+\tau)e^{-\tau}\,d\tau = 2\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau + \int_{0}^{t} \tau e^{-\tau}\,d\tau.
Calculo cada uma:
  • Para a primeira,
2\int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau = 2\big[-e^{-\tau}\big]_{0}^{t} = 2\big(-e^{-t} + 1\big) = 2 - 2e^{-t}.
  • Para a segunda, uso integração por partes. Escolho u=\tau e dv=e^{-\tau}d\tau. Então du=d\tau e v=-e^{-\tau}. Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
\int_{0}^{t} \tau e^{-\tau}\,d\tau = \big[ -\tau e^{-\tau} \big]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} \big( -e^{-\tau} \big)\,d\tau.
Isso é
\int_{0}^{t} \tau e^{-\tau}\,d\tau = -t e^{-t} - \big( -0\cdot e^{0} \big) + \int_{0}^{t} e^{-\tau}\,d\tau.
A última integral é \big[-e^{-\tau}\big]_0^t = -e^{-t}+1. Então
\int_{0}^{t} \tau e^{-\tau}\,d\tau = -t e^{-t} + (-e^{-t}+1) = 1 - (t+1)e^{-t}.

Passo 6

Somando as duas partes:
\int_{0}^{t} (2+\tau)e^{-\tau}\,d\tau = \big(2 - 2e^{-t}\big) + \big(1 - (t+1)e^{-t}\big).
Agrupando termos constantes e expoenciais:
\int_{0}^{t} (2+\tau)e^{-\tau}\,d\tau = 3 - \big(2e^{-t} + (t+1)e^{-t}\big) = 3 - (3+t)e^{-t}.

Passo 7

Volto para y(t)=e^{-t} multiplicando esta integral:
y(t)=e^{-t}\big(3 - (3+t)e^{-t}\big) = 3e^{-t} - (3+t)e^{-2t},\qquad t\ge 0.
E para t<0 temos y(t)=0 (causalidade). Posso escrever a resposta de forma compacta usando u(t):
y(t)=\big(3e^{-t} - (3+t)e^{-2t}\big)u(t).

Resposta

\displaystyle y(t)=\big(3e^{-t}-(3+t)e^{-2t}\big)u(t)

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