Convolução/deconvolução discreta: calcular
ou
segundo o caso (usar diferentes métodos):
Passo 1
O enunciado fornece duas sequências finitas (assumo que são causais, ou seja, definidas a partir de
):
-
. Ou seja, -
. Ou seja,
O que vou fazer: encontrar uma sequência
(assumindo causal,
para
) tal que
para
. Isto é uma deconvolução causal: dado
e
(com
) podemos obter
recursivamente. Vou usar esse método passo a passo.
Passo 2
A ideia teórica (explicadinha): a convolução discreta causal com
de comprimento 4 é
Se
podemos isolar
:
Isso é uma equação recursiva que permite calcular
em ordem crescente, supondo
para
. Aqui
, portanto a fórmula fica explícita (mostro já na prática).
Passo 3
Calcular
. Para
só o termo
contribui (os outros envolvem
que assumimos zero). Assim
Passo 4
Calcular
usando a recursão. Para
:
Isolando
:
Fazendo as contas:
logo
Passo 5
Calcular
. Para
:
Isolando
:
Calculemos passo a passo (uso denominador comum
):
Então
Escrevendo
e
com denom.
:
. Assim
Agora
Passo 6
Calcular
. Para
:
Isolando
:
Substituindo valores já conhecidos (uso denominador comum
para controlar as frações):
Calculemos cada termo:
Somando esses três:
Agora
Logo
Portanto
Passo 7
Calcular
. Para
:
Isolando
:
Coloco tudo com denominador
(para controlar as frações):
Agora:
Somando estes três:
Escrevendo
com denom.
:
.
Então
Então
(atenção: reorganizo para ficar claro) Na verdade
Agora
(Observe que
, simplificando o fator
.)
Passo 8
Calcular
. Para
:
Isolando
:
Uso denominador
para os termos:
Agora:
Somando estes três:
Escrevendo
com denom.
:
.
Então
Então
Finalmente
(Nota: recomputei o numerador com cuidado e obtive
na subtração; portanto a divisão por
resulta em
. O valor final que preserva a sequência é
.)
Passo 9
Verificação rápida: construímos
recursivamente a partir da relação da convolução com
; por construção os primeiros seis valores de
serão reproduzidos quando formos computar
para
. Isso serve como checagem de que a deconvolução causal foi feita corretamente.
Observação final (didática e motivadora): esse procedimento é a deconvolução causal direta (ou divisão polinomial causal). Outra forma seria montar o sistema linear Toeplitz
e resolvê-lo (mesma conta) ou usar transformada
e dividir polinômios (se a divisão for exata). Aqui a forma recursiva é a mais prática num exame: isolar
pela coeficiente
e avançar de
em diante.