Uma tensão senoidal:
\dot{\mathrm{V}}=127 \mid-30^{\circ} \mathrm{V}_{\mathrm{rms}} / 60 \mathrm{~Hz}
É aplicada sobre um resistor de resistência igual a 100 \Omega. Pede-se:
a) Expresse a impedância do circuito na forma complexa polar.
b) Calcule a corrente elétrica na forma complexa polar.
c) Represente a expressão matemática da tensão e da corrente em função do tempo.
d) Esboce a forma de onda da tensão e da corrente, indicado seus valores de pico ( V_{p} e I_{p} ) e o ângulo de defasagem entre tensão e corrente ( \varphi ).
e) Esboce o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
f) Calcule as potências ativa § e reativa (Q).

Passo 1

O enunciado dá uma tensão senoidal em forma fasorial e um resistor e pede várias coisas. Vamos listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados fornecidos:
\dot{V}=127\angle -30^\circ\\ \mathrm{V_{rms}},\qquad f=60\\ \mathrm{Hz}, \qquad R=100\\ \Omega.
Perguntas pedidas (a–f):
a) A impedância do circuito em forma complexa polar.
b) A corrente elétrica em forma complexa polar.
c) A expressão matemática (função do tempo) da tensão e da corrente.
d) Um esboço das formas de onda da tensão e da corrente, indicando valores de pico V_p e I_p e o ângulo de defasagem \varphi.
e) Um esboço do diagrama fasorial da tensão e da corrente.
f) As potências ativa P e reativa Q.

Passo 2

Conceito e cálculo da impedância de um resistor (passo didático).
O que é impedância: em regime senoidal, a impedância Z combina resistência e reatância; para um resistor puro não há componente reativa, logo a impedância é puramente real:
Z = R + j0.
Significado das variáveis: R é a resistência em ohms, j é a unidade imaginária e o ângulo de Z indica defasagem entre tensão e corrente imposta pelo elemento.
Cálculo numérico e representação polar:
Z = 100 + j0\\ \Omega.
A magnitude é |Z|=100 e o ângulo é 0^\circ, portanto a forma complexa polar é
\boxed{Z = 100\angle 0^\circ\\ \Omega.}

Passo 3

Cálculo da corrente fasorial usando a Lei de Ohm em fasores (explicação didática).
Lei de Ohm em fasores: \dot{V}=\dot{I}\,Z. Portanto
\dot{I}=\frac{\dot{V}}{Z}.
Regra para divisão em forma polar: ao dividir dois fasores em polar, divide-se as magnitudes e subtrai-se os ângulos:
|\dot{I}|=\frac{|\dot{V}|}{|Z|},\qquad \angle \dot{I}=\angle\dot{V}-\angle Z.
Aplicando aos números:
|\dot{I}|=\frac{127}{100}=1{,}27\\ \mathrm{A_{rms}},\qquad \angle\dot{I}=-30^\circ-0^\circ=-30^\circ.
Logo a corrente em forma polar é
\boxed{\dot{I}=1{,}27\angle -30^\circ\\ \mathrm{A_{rms}}.}
Se quisermos também a forma retangular (útil para intuição):
\dot{I}=1{,}27(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ)) =1{,}27(0{,}8660 - j0{,}5)\approx 1{,}10 - j0{,}635\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Expressões no domínio do tempo (explicação didática sobre conversão).
Relação entre valor rms e pico: para senoide,
V_p=\sqrt{2}\,V_{rms},\qquad I_p=\sqrt{2}\,I_{rms}.
Frequência angular:
\omega = 2\pi f = 2\pi(60)=120\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 376{,}99\\ \mathrm{rad/s}.
Calculemos os picos:
V_p=\sqrt{2}\cdot 127\approx 179{,}60\\ \mathrm{V}, \qquad I_p=\sqrt{2}\cdot 1{,}27\approx 1{,}797\\ \mathrm{A}.
Expressões em função do tempo (usando cosseno; os ângulos vêm do fasor):
\boxed{v(t)=179{,}60\cos\bigl(120\pi\,t -30^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}}
\boxed{i(t)=1{,}797\cos\bigl(120\pi\,t -30^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}}
Observação didática: ambos têm o mesmo ângulo -30^\circ, portanto estão em fase (sem defasagem relativa) — a corrente acompanha a tensão instantaneamente no resistor.

Passo 5

Esboço das formas de onda e indicação de V_p, I_p e \varphi (descrição e interpretação).
Descrição do esboço (como desenhar na prova):
  • A tensão v(t) é uma senoide com amplitude máxima V_p=179{,}60\\ \mathrm{V}.
  • A corrente i(t) é uma senoide com amplitude máxima I_p=1{,}797\\ \mathrm{A}.
  • Como os dois têm o mesmo ângulo de fase, suas cristas e vales coincidem no tempo (ou seja, não há deslocamento horizontal entre as curvas).
  • Ângulo de defasagem entre tensão e corrente:
\varphi=\angle \dot{V}-\angle\dot{I}=-30^\circ-(-30^\circ)=0^\circ.
Na prova você pode desenhar duas curvas senoidais sobrepostas: a da tensão com pico maior e a da corrente com pico bem menor, ambas cruzando o eixo ao mesmo tempo e atingindo máximos e mínimos simultaneamente. Anote V_p=179{,}60\\ \mathrm{V}, I_p=1{,}797\\ \mathrm{A} e \varphi=0^\circ.

Passo 6

Esboço do diagrama fasorial (como desenhar e interpretar).
Descrição do diagrama fasorial (o que colocar no desenho):
  • No plano complexo, desenhe um eixo real (horizontal) e imaginário (vertical).
  • O fasor da tensão é um vetor de comprimento 127 (em unidades rms) que forma ângulo -30^\circ com o eixo real.
  • O fasor da corrente é um vetor de comprimento 1{,}27 na mesma direção angular -30^\circ, mas muito menor em comprimento.
  • Como ambos têm o mesmo ângulo, eles são colineares; o vetor da corrente fica sobre o mesmo eixo do vetor da tensão (apontando na mesma direção).
Na prova, indique nos vetores os valores 127\angle -30^\circ\\ \mathrm{V_{rms}} e 1{,}27\angle -30^\circ\\ \mathrm{A_{rms}} e marque o ângulo -30^\circ a partir do eixo real.

Passo 7

Cálculo das potências ativa P e reativa Q (explicação didática).
Definições e fórmulas:
P=V_{rms}I_{rms}\cos\varphi,\qquad Q=V_{rms}I_{rms}\sin\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre tensão e corrente. Outra forma útil num resistor: P=I_{rms}^2 R e Q=0 para elemento puramente resistivo.
Aqui \varphi=0^\circ, então \cos\varphi=1 e \sin\varphi=0. Cálculos numéricos:
P= \frac{V_{rms}^2}{R}=\frac{127^2}{100}=\frac{16129}{100}=161{,}29\\ \mathrm{W}.
Q=0\\ \mathrm{var}.
A potência aparente:
S=V_{rms}I_{rms}=127\cdot 1{,}27=161{,}29\\ \mathrm{VA},
e de fato |S|=P quando Q=0.

Resposta

a) Z=100\angle 0^\circ\\ \Omega
b) \dot{I}=1{,}27\angle -30^\circ\\ \mathrm{A_{rms}}
c) v(t)=179{,}60\cos\bigl(120\pi\,t -30^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}
i(t)=1{,}797\cos\bigl(120\pi\,t -30^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}
d) V_p=179{,}60\\ \mathrm{V},\quad I_p=1{,}797\\ \mathrm{A},\quad \varphi=0^\circ
e) Diagrama fasorial: \dot{V}=127\angle -30^\circ\\ \mathrm{V_{rms}} e \dot{I}=1{,}27\angle -30^\circ\\ \mathrm{A_{rms}} (vetores colineares apontando em -30^\circ)
f) P=161{,}29\\ \mathrm{W},\quad Q=0\\ \mathrm{var}

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