5.33 ป Dois dielétricos perfeitos possuem permissividades relativas \epsilon_{r 1}=2 \mathrm{e} \epsilon_{r 2}=8. A superfície plana entre eles é a superfície x-y+2 z=5. A origem situa-se na região 1 . \mathrm{Se} \mathbf{E}_{1}=100 \mathbf{a}_{x}+200 \mathbf{a}_{y}-50 \mathbf{a}_{z} \mathbf{V} / \mathrm{m}, calcule \mathbf{E}_{2}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Dois dielétricos perfeitos com permissividades relativas \epsilon_{r1}=2 e \epsilon_{r2}=8.
  • A superfície plana de separação é dada por x-y+2z=5.
  • A origem (0,0,0) está na região 1.
  • O campo elétrico na região 1 é \mathbf{E}_1 = 100\,\mathbf{a}_x + 200\,\mathbf{a}_y - 50\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{V/m}.
  • Pergunta: calcular \mathbf{E}_2 (o campo elétrico na região 2).

Passo 2

Relembrando as condições de contorno fundamentais (explicação didática):
  • A componente tangencial de \mathbf{E} é contínua na interface (não há salto da componente tangencial se não há corrente livre). Em fórmula:
\hat{n}\times(\mathbf{E}_2-\mathbf{E}_1)=\mathbf{0},
ou, equivalente e mais prático aqui,
\mathbf{E}_{2t}=\mathbf{E}_{1t},
onde \mathbf{E}_t é a componente tangencial ao plano.
  • A componente normal de \mathbf{D}=\epsilon_0\epsilon_r\mathbf{E} é contínua quando não há carga de superfície livre. Em fórmula:
\hat{n}\cdot(\mathbf{D}_2-\mathbf{D}_1)=0 \quad\Rightarrow\quad \epsilon_{r2}\,\hat{n}\cdot\mathbf{E}_2=\epsilon_{r1}\,\hat{n}\cdot\mathbf{E}_1.
Isso significa que o produto \epsilon_r vezes a componente normal de \mathbf{E} é preservado através da interface. Essas duas condições nos permitem obter \mathbf{E}_2 decompondo \mathbf{E} em partes normal e tangencial.

Passo 3

Encontrar o vetor normal à superfície e sua orientação:
  • A equação do plano é x-y+2z=5. O vetor normal (não unitário) é \mathbf{n}=(1,-1,2).
  • Precisamos do versor normal \hat{n}. O módulo de \mathbf{n} é \sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6}. Assim
\hat{n}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2).
  • Determinar a que lado aponta \hat{n}: tomamos a função f(x,y,z)=x-y+2z-5. No ponto origem temos f(0,0,0)=-5<0, logo a origem está do lado onde f<0, isto é, na região 1. O vetor \mathbf{n} aponta para o lado de f>0, portanto \hat{n} aponta de região 1 para região 2 — boa, orientação coerente para usar nos produtos escalares.

Passo 4

Calcular a componente normal de \mathbf{E}_1:
  • A componente normal (escalar) é a_{1n}=\hat{n}\cdot\mathbf{E}_1. Com \mathbf{E}_1=(100,200,-50),
a_{1n}=\frac{1}{\sqrt{6}}\big(1\cdot100 + (-1)\cdot200 + 2\cdot(-50)\big) =\frac{1}{\sqrt{6}}(100-200-100)=\frac{-200}{\sqrt{6}}.
  • O vetor normal de \mathbf{E}_1 é \mathbf{E}_{1n}=a_{1n}\,\hat{n}. Como a_{1n}=-200/\sqrt{6} e \hat{n}=(1,-1,2)/\sqrt{6},
\mathbf{E}_{1n}=\frac{-200}{\sqrt{6}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2) =\frac{-200}{6}(1,-1,2) =\left(-\frac{100}{3},\;\frac{100}{3},\;-\frac{200}{3}\right)\\ \mathrm{V/m}.

Passo 5

Calcular a componente tangencial de \mathbf{E}_1:
  • A componente tangencial é \mathbf{E}_{1t}=\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_{1n}. Subtraindo:
\mathbf{E}_{1t}=\left(100,200,-50\right)-\left(-\frac{100}{3},\frac{100}{3},-\frac{200}{3}\right).
Fazendo as contas componente a componente (colocando em terços para ficar certinho):
100=\frac{300}{3}\Rightarrow 100-(-\tfrac{100}{3})=\frac{300}{3}+\frac{100}{3}=\frac{400}{3},
200=\frac{600}{3}\Rightarrow 200-\tfrac{100}{3}=\frac{600}{3}-\frac{100}{3}=\frac{500}{3},
-50=-\frac{150}{3}\Rightarrow -50-(-\tfrac{200}{3})=-\frac{150}{3}+\frac{200}{3}=\frac{50}{3}.
Logo
\mathbf{E}_{1t}=\left(\frac{400}{3},\;\frac{500}{3},\;\frac{50}{3}\right)\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Usar as condições de contorno para obter a componente normal em região 2:
  • A condição sobre \mathbf{D} normal dá
\epsilon_{r2}\,a_{2n}=\epsilon_{r1}\,a_{1n},
onde a_{2n}=\hat{n}\cdot\mathbf{E}_2. Portanto
a_{2n}=\frac{\epsilon_{r1}}{\epsilon_{r2}}\,a_{1n}=\frac{2}{8}\cdot\left(\frac{-200}{\sqrt{6}}\right)=\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{-200}{\sqrt{6}}\right)=\frac{-50}{\sqrt{6}}.
  • O vetor normal de \mathbf{E}_2 é \mathbf{E}_{2n}=a_{2n}\,\hat{n}. Assim
\mathbf{E}_{2n}=\frac{-50}{\sqrt{6}}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2) =\frac{-50}{6}(1,-1,2) =\left(-\frac{25}{3},\;\frac{25}{3},\;-\frac{50}{3}\right)\\ \mathrm{V/m}.

Passo 7

Construir \mathbf{E}_2 somando a parte tangencial (mesma que em 1) e a parte normal obtida:
  • Sabemos \mathbf{E}_{2t}=\mathbf{E}_{1t}=\left(\tfrac{400}{3},\tfrac{500}{3},\tfrac{50}{3}\right).
  • Então
\mathbf{E}_2=\mathbf{E}_{2t}+\mathbf{E}_{2n} =\left(\tfrac{400}{3},\tfrac{500}{3},\tfrac{50}{3}\right)+\left(-\tfrac{25}{3},\tfrac{25}{3},-\tfrac{50}{3}\right).
Somando componente a componente:
\begin{aligned} E_{2x}&=\tfrac{400}{3}-\tfrac{25}{3}=\tfrac{375}{3}=125,\\[4pt] E_{2y}&=\tfrac{500}{3}+\tfrac{25}{3}=\tfrac{525}{3}=175,\\[4pt] E_{2z}&=\tfrac{50}{3}-\tfrac{50}{3}=0. \end{aligned}
Portanto obtemos
\mathbf{E}_2=125\,\mathbf{a}_x + 175\,\mathbf{a}_y + 0\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{V/m}.]

Resposta

\mathbf{E}_2 = 125\,\mathbf{a}_x + 175\,\mathbf{a}_y + 0\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{V/m}

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