5.33 ป Dois dielétricos perfeitos possuem permissividades relativas
. A superfície plana entre eles é a superfície
. A origem situa-se na região
, calcule
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Dois dielétricos perfeitos com permissividades relativas
e . - A superfície plana de separação é dada por
. - A origem
está na região 1. - O campo elétrico na região 1 é
. - Pergunta: calcular
(o campo elétrico na região 2).
Passo 2
Relembrando as condições de contorno fundamentais (explicação didática):
- A componente tangencial de
é contínua na interface (não há salto da componente tangencial se não há corrente livre). Em fórmula:
ou, equivalente e mais prático aqui,
onde
é a componente tangencial ao plano.
- A componente normal de
é contínua quando não há carga de superfície livre. Em fórmula:
Isso significa que o produto
vezes a componente normal de
é preservado através da interface. Essas duas condições nos permitem obter
decompondo
em partes normal e tangencial.
Passo 3
Encontrar o vetor normal à superfície e sua orientação:
- A equação do plano é
. O vetor normal (não unitário) é . - Precisamos do versor normal
. O módulo de é . Assim
- Determinar a que lado aponta
: tomamos a função . No ponto origem temos , logo a origem está do lado onde , isto é, na região 1. O vetor aponta para o lado de , portanto aponta de região 1 para região 2 — boa, orientação coerente para usar nos produtos escalares.
Passo 4
Calcular a componente normal de
:
- A componente normal (escalar) é
. Com ,
- O vetor normal de
é . Como e ,
Passo 5
Calcular a componente tangencial de
:
- A componente tangencial é
. Subtraindo:
Fazendo as contas componente a componente (colocando em terços para ficar certinho):
Logo
Passo 6
Usar as condições de contorno para obter a componente normal em região 2:
- A condição sobre
normal dá
onde
. Portanto
- O vetor normal de
é . Assim
Passo 7
Construir
somando a parte tangencial (mesma que em 1) e a parte normal obtida:
- Sabemos
. - Então
Somando componente a componente:
Portanto obtemos