Uma tensão senoidal:
\dot{\mathrm{V}}=220 \mid 90^{\circ} \mathrm{V}_{\mathrm{rms}} / 60 \mathrm{~Hz}
É aplicada sobre um indutor de indutância igual a 100 mH . Pede-se:
a) Expresse a impedância do circuito na forma complexa polar. Lembre-se que para isso, você deve primeiro calcular a reatância do indutor.
b) Calcule a corrente elétrica na forma complexa polar.
c) Represente a expressão matemática da tensão e da corrente em função do tempo.
d) Esboce a forma de onda da tensão e da corrente, indicado seus valores de pico ( V_{P} e I_{P} ) e o ângulo de defasagem entre tensão e corrente ( \varphi ).
e) Esboce o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
f) Calcule as potências ativa § e reativa (Q).

Passo 1

O enunciado dá uma tensão senoidal em forma fasorial e pede várias grandezas elétricas para um indutor. Vamos listar claramente o que temos e o que pediram:
Dado:
\dot{V}=220\mid 90^\circ\\ \text{V}_{\text{rms}},\qquad f=60\\ \text{Hz},
L=100\\ \text{mH}=0{,}100\\ \text{H}.
Perguntas:
a) Impedância do indutor em forma complexa polar.
b) Corrente elétrica em forma complexa polar.
c) Expressões temporais (tensão e corrente) em função do tempo.
d) Esboço das formas de onda: indique V_P, I_P e ângulo de defasagem \varphi.
e) Esboço do diagrama fasorial (posição de \dot{V} e \dot{I} no plano complexo).
f) Potência ativa P e potência reativa Q.
Não vamos resolver nada ainda aqui; só registrei os dados e as perguntas para não perder o foco.

Passo 2

Calcular a reatância indutiva X_L. Vou explicar a fórmula e cada termo.
A reatância indutiva é dada por
X_L=\omega L,
onde \omega é a pulsação (frequência angular) e L é a indutância. A pulsação relaciona-se com a frequência por
\omega=2\pi f.
Aqui f=60\\ \text{Hz}, então
\omega=2\pi\cdot 60=120\pi\\ \text{rad/s}.
Agora calculemos X_L:
X_L=\omega L=(120\pi)\cdot 0{,}100=12\pi\\ \Omega.
Para ter um número prático, calculemos o valor numérico:
12\pi\approx 37{,}69911184\\ \Omega.
Arredondando para uma precisão razoável:
X_L\approx 37{,}70\\ \Omega.
Explicação rápida: X_L mede quanto o indutor “se opõe” à variação de corrente em regime senoidal. Está em ohms, como uma resistência, mas é puramente imaginária (tem fator j).

Passo 3

Expressar a impedância do indutor Z_L na forma complexa. Teoria curta: a impedância de um indutor puro é
Z_L=jX_L.
No formato retangular isso fica
Z_L= j\cdot 37{,}699\\ \Omega = 0 + j\,37{,}699\\ \Omega.
Para converter para forma polar (magnitude e ângulo): a magnitude é |Z_L|=X_L e o argumento é +90^\circ porque multiplicar por j corresponde a girar +90^\circ. Assim
Z_L = 37{,}699\mid 90^\circ\\ \Omega.
Arredondando:
Z_L \approx 37{,}70\mid 90^\circ\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a corrente fasorial \dot{I}=\dfrac{\dot{V}}{Z_L}. Explico a regra de divisão em forma polar: quando dividimos dois fasores em forma polar, dividimos as magnitudes e subtraímos os ângulos:
\dot{I}=\frac{|\dot{V}|}{|Z_L|}\;\bigg|\;(\angle \dot{V}-\angle Z_L).
Temos |\dot{V}|=220 (valor RMS) e \angle\dot{V}=90^\circ. Usando |Z_L|=37{,}699 e \angle Z_L=90^\circ,
|\dot{I}|=\frac{220}{37{,}699}\approx 5{,}83772234\\ \text{A}_{\text{rms}},
\angle\dot{I}=90^\circ-90^\circ=0^\circ.
Portanto em forma polar
\dot{I}\approx 5{,}8377\mid 0^\circ\\ \text{A}_{\text{rms}}.
Observação física: em um indutor ideal a corrente está defasada de 90^\circ em relação à tensão; aqui aparecem essas fases nos fasores (a tensão dada tinha 90^\circ, a impedância tem +90^\circ, o resultado é corrente com 0^\circ).

Passo 5

Converter as formas RMS fasoriais para expressões no tempo (valores de pico e funções senoidais).
Fórmula de conversão RMS \to pico:
V_P=\sqrt{2}\,V_{\text{rms}},\qquad I_P=\sqrt{2}\,I_{\text{rms}}.
Calculemos:
V_P=\sqrt{2}\cdot 220\approx 311{,}127\\ \text{V}.
I_P=\sqrt{2}\cdot 5{,}83772234\approx 8{,}262018\\ \text{A}.
A pulsação já foi calculada: \omega=2\pi f=120\pi\\ \text{rad/s}\approx 376{,}991\\ \text{rad/s}.
As expressões temporais padrão (usando cosseno) associadas aos fasores A\mid\theta são
a(t)=A_P\cos(\omega t+\theta).
Assim:
v(t)=V_P\cos(\omega t+90^\circ)=311{,}127\cos\bigl(120\pi t+90^\circ\bigr)\\ \text{V},
i(t)=I_P\cos(\omega t+0^\circ)=8{,}262018\cos\bigl(120\pi t\bigr)\\ \text{A}.
Explicação didática: o ângulo no fasor vira o deslocamento de fase no argumento do cosseno; usamos os valores de pico porque as expressões temporais clássicas são em amplitude máxima.

Passo 6

Descrever e quantificar a defasagem entre tensão e corrente e o deslocamento no tempo.
O ângulo de defasagem entre tensão e corrente é
\varphi=\angle\dot{V}-\angle\dot{I}=90^\circ-0^\circ=90^\circ.
Interpretação: a tensão está adiantada em 90^\circ em relação à corrente (ou a corrente atrasa 90^\circ em relação à tensão), característica de um indutor ideal.
Tempo de atraso correspondente:
\Delta t=\frac{\varphi\\ (\text{em rad})}{\omega}=\frac{\pi/2}{120\pi}=\frac{1}{240}\\ \text{s}\approx 4{,}167\\ \text{ms}.
Significado: o pico da tensão ocorre 4{,}167\\ \text{ms} antes do pico da corrente (para f=60\\ \text{Hz}).

Passo 7

Esboço qualitativo das formas de onda (instrução de como desenhar no papel):
  • Ambas são cossenos com mesma frequência 60\\ \text{Hz}.
  • A tensão v(t) tem amplitude V_P\approx 311{,}13\\ \text{V}. Desenhe uma senoide de amplitude ±311, com pico inicial em t=0 igual a 311\cos(90^\circ)=0? Atenção: 311\cos(90^\circ)=0, então em t=0 a tensão é zero e está subindo (porque a derivada será positiva). Mas para esboço simples, marque amplitude e sublinhe que seu pico positivo ocorre antes do pico da corrente por \Delta t.
  • A corrente i(t) tem amplitude I_P\approx 8{,}262\\ \text{A} e está atrasada de 90^\circ (ou deslocada no tempo \Delta t). Portanto as cristas da corrente ocorrem depois das cristas da tensão.
  • No esboço, indique V_P e I_P nas respectivas amplitudes e um arco entre as curvas para mostrar \varphi=90^\circ.

Passo 8

Desenho do diagrama fasorial (instrução/descrição):
  • No plano complexo (eixo real horizontal = referência), coloque o fasor corrente \dot{I}=5{,}8377\mid 0^\circ apontando ao longo do eixo real positivo (comprimento proporcional a 5{,}8377).
  • Coloque o fasor tensão \dot{V}=220\mid 90^\circ apontando verticalmente para cima (eixo imaginário positivo), comprimento proporcional a 220.
  • O ângulo entre \dot{V} e \dot{I} é 90^\circ; desenhe a seta de \dot{V} 90^\circ adiante da seta de \dot{I}.

Passo 9

Calcular potências ativa P e reativa Q. Vou explicar as fórmulas:
  • Potência aparente: |S|=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}.
  • Potência ativa (média): P=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\varphi.
  • Potência reativa: Q=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\sin\varphi.
Aqui \varphi=90^\circ, então \cos 90^\circ=0 e \sin 90^\circ=1. Portanto:
P=220\cdot 5{,}83772234\cdot 0 = 0\\ \text{W}.
Q=220\cdot 5{,}83772234\cdot 1 \approx 1{,}284{,}299\\ \text{VAR}.
Arredondando:
Q\approx 1{,}284{,}3\\ \text{VAR}.
Sinal: como é indutor, Q é positivo segundo a convenção que toma Q>0 para reativo indutivo. O número complexo da potência é
S=P+jQ=0 + j\,1{,}284{,}3\\ \text{VA}.

Resposta

a) Z_L\approx 37{,}70\mid 90^\circ\\ \Omega.
b) \dot{I}\approx 5{,}8377\mid 0^\circ\\ \text{A}_{\text{rms}}.
c) v(t)=311{,}127\cos\bigl(120\pi t+90^\circ\bigr)\\ \text{V} \newline i(t)=8{,}262018\cos\bigl(120\pi t\bigr)\\ \text{A}.
d) V_P\approx 311{,}13\\ \text{V},\\ I_P\approx 8{,}262\\ \text{A},\\ \varphi=90^\circ (tensão adianta a corrente).
e) Diagrama fasorial: \dot{I}=5{,}8377\mid 0^\circ ao longo do eixo real; \dot{V}=220\mid 90^\circ no eixo imaginário positivo; ângulo entre eles 90^\circ.
f) P=0\\ \text{W},\\ Q\approx 1{,}284{,}3\\ \text{VAR} (reativa indutiva, S=j\,1{,}284{,}3\\ \text{VA}).

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