É aplicada sobre um indutor de indutância igual a 100 mH . Pede-se:
a) Expresse a impedância do circuito na forma complexa polar. Lembre-se que para isso, você deve primeiro calcular a reatância do indutor.
b) Calcule a corrente elétrica na forma complexa polar.
c) Represente a expressão matemática da tensão e da corrente em função do tempo.
d) Esboce a forma de onda da tensão e da corrente, indicado seus valores de pico ( V_{P} e I_{P} ) e o ângulo de defasagem entre tensão e corrente ( \varphi ).
e) Esboce o diagrama fasorial da tensão e da corrente.
f) Calcule as potências ativa § e reativa (Q).
Passo 1
O enunciado dá uma tensão senoidal em forma fasorial e pede várias grandezas elétricas para um indutor. Vamos listar claramente o que temos e o que pediram:
Perguntas:
a) Impedância do indutor em forma complexa polar.
b) Corrente elétrica em forma complexa polar.
c) Expressões temporais (tensão e corrente) em função do tempo.
d) Esboço das formas de onda: indique V_P, I_P e ângulo de defasagem \varphi.
e) Esboço do diagrama fasorial (posição de \dot{V} e \dot{I} no plano complexo).
f) Potência ativa P e potência reativa Q.
Não vamos resolver nada ainda aqui; só registrei os dados e as perguntas para não perder o foco.
Passo 2
Calcular a reatância indutiva X_L. Vou explicar a fórmula e cada termo.
A reatância indutiva é dada por
X_L=\omega L,
onde \omega é a pulsação (frequência angular) e L é a indutância. A pulsação relaciona-se com a frequência por
Para ter um número prático, calculemos o valor numérico:
12\pi\approx 37{,}69911184\\ \Omega.
Arredondando para uma precisão razoável:
X_L\approx 37{,}70\\ \Omega.
Explicação rápida: X_L mede quanto o indutor “se opõe” à variação de corrente em regime senoidal. Está em ohms, como uma resistência, mas é puramente imaginária (tem fator j).
Passo 3
Expressar a impedância do indutor Z_L na forma complexa. Teoria curta: a impedância de um indutor puro é
Para converter para forma polar (magnitude e ângulo): a magnitude é |Z_L|=X_L e o argumento é +90^\circ porque multiplicar por j corresponde a girar +90^\circ. Assim
Z_L = 37{,}699\mid 90^\circ\\ \Omega.
Arredondando:
Z_L \approx 37{,}70\mid 90^\circ\\ \Omega.
Passo 4
Calcular a corrente fasorial \dot{I}=\dfrac{\dot{V}}{Z_L}. Explico a regra de divisão em forma polar: quando dividimos dois fasores em forma polar, dividimos as magnitudes e subtraímos os ângulos:
Observação física: em um indutor ideal a corrente está defasada de 90^\circ em relação à tensão; aqui aparecem essas fases nos fasores (a tensão dada tinha 90^\circ, a impedância tem +90^\circ, o resultado é corrente com 0^\circ).
Passo 5
Converter as formas RMS fasoriais para expressões no tempo (valores de pico e funções senoidais).
Explicação didática: o ângulo no fasor vira o deslocamento de fase no argumento do cosseno; usamos os valores de pico porque as expressões temporais clássicas são em amplitude máxima.
Passo 6
Descrever e quantificar a defasagem entre tensão e corrente e o deslocamento no tempo.
Interpretação: a tensão está adiantada em 90^\circ em relação à corrente (ou a corrente atrasa 90^\circ em relação à tensão), característica de um indutor ideal.
Significado: o pico da tensão ocorre 4{,}167\\ \text{ms} antes do pico da corrente (para f=60\\ \text{Hz}).
Passo 7
Esboço qualitativo das formas de onda (instrução de como desenhar no papel):
Ambas são cossenos com mesma frequência 60\\ \text{Hz}.
A tensão v(t) tem amplitude V_P\approx 311{,}13\\ \text{V}. Desenhe uma senoide de amplitude ±311, com pico inicial em t=0 igual a 311\cos(90^\circ)=0? Atenção: 311\cos(90^\circ)=0, então em t=0 a tensão é zero e está subindo (porque a derivada será positiva). Mas para esboço simples, marque amplitude e sublinhe que seu pico positivo ocorre antes do pico da corrente por \Delta t.
A corrente i(t) tem amplitude I_P\approx 8{,}262\\ \text{A} e está atrasada de 90^\circ (ou deslocada no tempo \Delta t). Portanto as cristas da corrente ocorrem depois das cristas da tensão.
No esboço, indique V_P e I_P nas respectivas amplitudes e um arco entre as curvas para mostrar \varphi=90^\circ.
Passo 8
Desenho do diagrama fasorial (instrução/descrição):
No plano complexo (eixo real horizontal = referência), coloque o fasor corrente \dot{I}=5{,}8377\mid 0^\circ apontando ao longo do eixo real positivo (comprimento proporcional a 5{,}8377).
Coloque o fasor tensão \dot{V}=220\mid 90^\circ apontando verticalmente para cima (eixo imaginário positivo), comprimento proporcional a 220.
O ângulo entre \dot{V} e \dot{I} é 90^\circ; desenhe a seta de \dot{V}90^\circ adiante da seta de \dot{I}.
Passo 9
Calcular potências ativa P e reativa Q. Vou explicar as fórmulas: