1. Uma tensão senoidal é igual a zero em t=(40 / 3) \mathrm{ms} e aumenta a uma taxa de 750 \pi \mathrm{~V} / \mathrm{s}. A amplitude máxima da tensão é 50 V .
a) Qual é a frequência de v em radianos por segundo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Em t_0 = \dfrac{40}{3}\,\mathrm{ms} a tensão senoidal é igual a zero (ou seja, v(t_0)=0).
  • Nesse mesmo instante a taxa de variação da tensão é \dfrac{dv}{dt}\Big|_{t_0}=750\pi\\ \mathrm{V/s} (positiva).
  • A amplitude máxima (valor de pico) da tensão é V_m=50\\ \mathrm{V}.
  • O que se pede: (a) a frequência angular de v em radianos por segundo, isto é \omega em \mathrm{rad/s}.

Passo 2

Modelagem da tensão senoidal e significado das variáveis.
Uma forma padrão para uma tensão senoidal é
v(t)=V_m\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • V_m é a amplitude máxima (dada: V_m=50\\ \mathrm{V});
  • \omega é a frequência angular que queremos achar (em \mathrm{rad/s});
  • \varphi é a fase inicial (desconhecida);
  • t é o tempo.
A derivada temporal (taxa de variação) dessa tensão é
\frac{dv}{dt}=\omega V_m\cos\bigl(\omega t+\varphi\bigr).
Expliquei: deriva-se \sin(\cdot) obtendo \cos(\cdot) multiplicado por a derivada do argumento, que é \omega.

Passo 3

Usar a informação de que v(t_0)=0.
Se v(t_0)=0 então
V_m\sin\bigl(\omega t_0+\varphi\bigr)=0.
Como V_m\neq0, tem-se
\sin\bigl(\omega t_0+\varphi\bigr)=0.
As soluções de \sin(\theta)=0 são \theta=k\pi com k inteiro. Logo
\omega t_0+\varphi = k\pi \quad\text{para algum }k\in\mathbb{Z}.

Passo 4

Relacionar isso com a derivada positiva dada.
Avaliaremos a derivada em t_0:
\frac{dv}{dt}\Big|_{t_0}=\omega V_m\cos\bigl(\omega t_0+\varphi\bigr).
Como \omega t_0+\varphi=k\pi, temos \cos(k\pi)=(-1)^k. Portanto
\frac{dv}{dt}\Big|_{t_0}=\omega V_m(-1)^k.
O enunciado diz que \dfrac{dv}{dt}\Big|_{t_0}=750\pi e esse valor é positivo. Logo \omega V_m(-1)^k>0. Sabendo que \omega>0 e V_m>0, deduz-se que (-1)^k=+1, ou seja k é par. Para k par temos \cos(k\pi)=1 e então a expressão fica simplesmente
\frac{dv}{dt}\Big|_{t_0}=\omega V_m.
(Interpretação física rápida: zero com derivada positiva significa que a senoide está cruzando o zero subindo — corresponde a argumento igual a 0 mod 2\pi.)

Passo 5

Isolar \omega e calcular.
Usando \dfrac{dv}{dt}\Big|_{t_0}=\omega V_m, temos
\omega=\frac{\dfrac{dv}{dt}\Big|_{t_0}}{V_m}.
Substituindo os valores numéricos (tudo em unidades SI):
\omega=\frac{750\pi}{50}.
Fazendo a conta 750/50=15, resulta
\omega=15\pi\\ \mathrm{rad/s}.
Se quiser uma aproximação numérica, 15\pi\approx 47{,}1239\\ \mathrm{rad/s}.

Resposta

\omega = 15\pi\\ \mathrm{rad/s}

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