Uma tensão senoidal é igual a zero em t=(40 / 3) \mathrm{ms} e aumenta a uma taxa de 750 \pi \mathrm{~V} / \mathrm{s}. A amplitude máxima da tensão é 50 V .
a) Qual é a frequência de v em radianos por segundo?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Em t_0 = \dfrac{40}{3}\,\mathrm{ms} a tensão senoidal é igual a zero (ou seja, v(t_0)=0).
Nesse mesmo instante a taxa de variação da tensão é \dfrac{dv}{dt}\Big|_{t_0}=750\pi\\ \mathrm{V/s} (positiva).
A amplitude máxima (valor de pico) da tensão é V_m=50\\ \mathrm{V}.
O que se pede: (a) a frequência angular de v em radianos por segundo, isto é \omega em \mathrm{rad/s}.
Passo 2
Modelagem da tensão senoidal e significado das variáveis.
Uma forma padrão para uma tensão senoidal é
v(t)=V_m\sin\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
V_m é a amplitude máxima (dada: V_m=50\\ \mathrm{V});
\omega é a frequência angular que queremos achar (em \mathrm{rad/s});
\varphi é a fase inicial (desconhecida);
t é o tempo.
A derivada temporal (taxa de variação) dessa tensão é
Como \omega t_0+\varphi=k\pi, temos \cos(k\pi)=(-1)^k. Portanto
\frac{dv}{dt}\Big|_{t_0}=\omega V_m(-1)^k.
O enunciado diz que \dfrac{dv}{dt}\Big|_{t_0}=750\pi e esse valor é positivo. Logo \omega V_m(-1)^k>0. Sabendo que \omega>0 e V_m>0, deduz-se que (-1)^k=+1, ou seja k é par. Para k par temos \cos(k\pi)=1 e então a expressão fica simplesmente
\frac{dv}{dt}\Big|_{t_0}=\omega V_m.
(Interpretação física rápida: zero com derivada positiva significa que a senoide está cruzando o zero subindo — corresponde a argumento igual a 0 mod 2\pi.)