2 - Uma LT com \mathrm{Z}_{0}=100 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,25 \mathrm{~m}^{-1} tem 5 m de comprimento e alimenta uma carga de 200 \Omega. A tensão na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de 91,15 \mathrm{~V}. Calcular:
(2,0) a) a potência (ativa ou média) na entrada da linha;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Linha de transmissão com impedância característica \,Z_{0}=100\\ \Omega.
Constante de propagação \,\gamma=\mathrm{j}\,0{,}25\\ \mathrm{m}^{-1}.
Comprimento da linha \,l=5\\ \mathrm{m}.
Carga na extremidade da linha \,Z_{L}=200\\ \Omega.
Tensão na entrada (amplitude — valor de pico) \,V_{\text{in,pk}}=91{,}15\\ \mathrm{V}.
O que o enunciado pede:
(a) calcular a potência média (ativa) na entrada da linha.
Passo 2
Interpretação física e escolha do método (passo didático). \gamma=\mathrm{j}0{,}25\\ \mathrm{m}^{-1} indica que a parte real da constante de propagação é zero (\alpha=0) e a parte imaginária é \beta=0{,}25\\ \mathrm{rad/m}. Ou seja, a linha é ideal (sem perdas) — não há atenuação de amplitude ao longo da linha. Em linha sem perdas a potência média fornecida na entrada é exatamente a potência média absorvida pela carga (não há dissipação ao longo da linha). Vou então calcular a potência entregue à carga a partir da tensão fornecida na entrada.
Para lidar com desajuste usarei a decomposição em ondas progressiva e refletida (ondas de tensão complexas). Conceitos-chave que vou usar (explicação curta e concreta):
Coeficiente de reflexão na carga:
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
A tensão no ponto de entrada (z=0) é soma da onda progressiva V_{+} e da onda refletida V_{-}:
V_{\text{in}}=V(0)=V_{+}+V_{-}.
A relação entre V_{-} e V_{+}, considerando a fase acumulada na ida e volta até a carga, é
V_{-}=\Gamma_{L}\,V_{+}\,e^{-2j\beta l}.
A potência média transportada por uma onda progressiva de amplitude complexa V_{+} numa linha sem perdas é
P_{+}=\frac{|V_{+}|^{2}}{2Z_{0}},
e a potência refletida é P_{-}=\dfrac{|V_{-}|^{2}}{2Z_{0}}. A potência líquida absorvida pela carga é P=P_{+}-P_{-}=\dfrac{|V_{+}|^{2}}{2Z_{0}}\bigl(1-|\Gamma_{L}|^{2}\bigr).
Passo 3
Calcular o coeficiente de reflexão na carga e a fase acumulada.
Expressar V_{+} a partir da tensão de entrada conhecida e calcular seu módulo.
Partindo de V_{\text{in}}=V_{+}+V_{-}=V_{+}\bigl(1+\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}\bigr), tem-se
Calcular a potência média absorvida pela carga (igual à potência na entrada).
A potência líquida absorvida pela carga para uma onda progressiva V_{+} é
Verificação rápida (cheque de consistência).
Podemos calcular a tensão no ponto da carga: V_{L}=V_{+}e^{-j\beta l}(1+\Gamma_{L}). Como |1+\Gamma_{L}|=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3},