2 - Uma LT com \mathrm{Z}_{0}=100 \Omega e \gamma=\mathrm{j} 0,25 \mathrm{~m}^{-1} tem 5 m de comprimento e alimenta uma carga de 200 \Omega. A tensão na entrada da linha tem amplitude (valor de pico) de 91,15 \mathrm{~V}. Calcular:
(2,0) a) a potência (ativa ou média) na entrada da linha;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Linha de transmissão com impedância característica \,Z_{0}=100\\ \Omega.
  • Constante de propagação \,\gamma=\mathrm{j}\,0{,}25\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Comprimento da linha \,l=5\\ \mathrm{m}.
  • Carga na extremidade da linha \,Z_{L}=200\\ \Omega.
  • Tensão na entrada (amplitude — valor de pico) \,V_{\text{in,pk}}=91{,}15\\ \mathrm{V}.
O que o enunciado pede:
  • (a) calcular a potência média (ativa) na entrada da linha.

Passo 2

Interpretação física e escolha do método (passo didático).
\gamma=\mathrm{j}0{,}25\\ \mathrm{m}^{-1} indica que a parte real da constante de propagação é zero ( \alpha=0) e a parte imaginária é \beta=0{,}25\\ \mathrm{rad/m}. Ou seja, a linha é ideal (sem perdas) — não há atenuação de amplitude ao longo da linha. Em linha sem perdas a potência média fornecida na entrada é exatamente a potência média absorvida pela carga (não há dissipação ao longo da linha). Vou então calcular a potência entregue à carga a partir da tensão fornecida na entrada.
Para lidar com desajuste usarei a decomposição em ondas progressiva e refletida (ondas de tensão complexas). Conceitos-chave que vou usar (explicação curta e concreta):
  • Coeficiente de reflexão na carga:
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}.
  • A tensão no ponto de entrada ( z=0) é soma da onda progressiva V_{+} e da onda refletida V_{-}:
V_{\text{in}}=V(0)=V_{+}+V_{-}.
  • A relação entre V_{-} e V_{+}, considerando a fase acumulada na ida e volta até a carga, é
V_{-}=\Gamma_{L}\,V_{+}\,e^{-2j\beta l}.
  • A potência média transportada por uma onda progressiva de amplitude complexa V_{+} numa linha sem perdas é
P_{+}=\frac{|V_{+}|^{2}}{2Z_{0}},
e a potência refletida é P_{-}=\dfrac{|V_{-}|^{2}}{2Z_{0}}. A potência líquida absorvida pela carga é P=P_{+}-P_{-}=\dfrac{|V_{+}|^{2}}{2Z_{0}}\bigl(1-|\Gamma_{L}|^{2}\bigr).

Passo 3

Calcular o coeficiente de reflexão na carga e a fase acumulada.
\Gamma_{L}=\frac{Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}} =\frac{200-100}{200+100}=\frac{100}{300}=\frac{1}{3}.
A constante de fase é \beta=0{,}25\\ \mathrm{rad/m} e o comprimento é l=5\\ \mathrm{m}, então
2\beta l = 2\cdot 0{,}25\cdot 5 = 2{,}5\\ \text{rad}.
Vou precisar de e^{-2j\beta l}=e^{-j2{,}5}=\cos(2{,}5)-j\sin(2{,}5).
Numericamente (valores de \cos e \sin em radianos):
\cos(2{,}5)\approx -0{,}8011436,\qquad \sin(2{,}5)\approx 0{,}5984721,
logo
e^{-j2{,}5}\approx -0{,}8011436 - j\,0{,}5984721.

Passo 4

Expressar V_{+} a partir da tensão de entrada conhecida e calcular seu módulo.
Partindo de V_{\text{in}}=V_{+}+V_{-}=V_{+}\bigl(1+\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}\bigr), tem-se
V_{+}=\frac{V_{\text{in}}}{1+\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}}.
Tomando módulos:
|V_{+}|=\frac{|V_{\text{in}}|}{\bigl|1+\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}\bigr|}.
Substituindo \Gamma_{L}=\tfrac{1}{3} e e^{-j2{,}5} numérico:
1+\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}=1+\tfrac{1}{3}(-0{,}8011436 - j0{,}5984721) \approx 0{,}7329521 - j0{,}1994907.
O módulo é
\bigl|1+\Gamma_{L}e^{-2j\beta l}\bigr| =\sqrt{0{,}7329521^{2}+0{,}1994907^{2}} \approx 0{,}759644.
Como V_{\text{in,pk}}=91{,}15\\ \mathrm{V} (amplitude de pico),
|V_{+}|=\frac{91{,}15}{0{,}759644}\approx 120{,}02\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Calcular a potência média absorvida pela carga (igual à potência na entrada).
A potência líquida absorvida pela carga para uma onda progressiva V_{+} é
P=\frac{|V_{+}|^{2}}{2Z_{0}}\bigl(1-|\Gamma_{L}|^{2}\bigr).
Já temos |V_{+}|\approx 120{,}02\\ \mathrm{V}, Z_{0}=100\\ \Omega e |\Gamma_{L}|=\tfrac{1}{3}. Então
|V_{+}|^{2}\approx (120{,}02)^{2}\approx 14405{,}8\\ \mathrm{V}^{2},
\frac{|V_{+}|^{2}}{2Z_{0}}=\frac{14405{,}8}{2\cdot 100}=\frac{14405{,}8}{200}\approx 72{,}029\\ \mathrm{W},
e
1-|\Gamma_{L}|^{2}=1-\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}=1-\tfrac{1}{9}=\tfrac{8}{9}\approx 0{,}888\ldots
Portanto
P\approx 72{,}029\cdot \frac{8}{9}\approx 64{,}026\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Verificação rápida (cheque de consistência).
Podemos calcular a tensão no ponto da carga: V_{L}=V_{+}e^{-j\beta l}(1+\Gamma_{L}). Como |1+\Gamma_{L}|=1+\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3},
|V_{L}|\approx 120{,}02\cdot \frac{4}{3}\approx 160{,}03\\ \mathrm{V}.
Tensão eficaz na carga |V_{L,\text{rms}}|=|V_{L}|/\sqrt{2}\approx 113{,}13\\ \mathrm{V}. Assim
P_{L}=\frac{|V_{L,\text{rms}}|^{2}}{Z_{L}}\approx\frac{113{,}13^{2}}{200}\approx 64{,}03\\ \mathrm{W},
o que confirma o valor encontrado acima (pequenas diferenças de arredondamento).

Resposta

64{,}03\\ \mathrm{W}

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