1 - Uma linha de transmissão é usada para conectar um transmissor a uma antena transmissora (carga) com impedância de entrada \mathrm{Z}_{\mathrm{L}}. A frequência de operação é de 1 MHz e a linha tem os seguintes parâmetros: \mathrm{G}=40 \mu \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \mathrm{R}=0,1 \Omega / \mathrm{m}, \mathrm{L}=1 \mu \mathrm{H} / \mathrm{m} e \mathrm{C}=400 \mathrm{pF} / \mathrm{m}.
(1,0) d) Se a antena for substituída por um circuito aberto, determinar a menor distância a partir da carga na qual a tensão na linha é nula.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: “Se a antena for substituída por um circuito aberto, determinar a menor distância a partir da carga na qual a tensão na linha é nula.” Ou seja: achar a menor distância positiva, medida a partir do ponto da carga (circuito aberto), onde a tensão ao longo da linha se anula (primeiro nó de tensão a partir da carga).
  • Dados (pegos do enunciado):
    • f=1\\ \mathrm{MHz}.
    • R=0,1\\ \Omega/\mathrm{m}.
    • L=1\\ \mu\mathrm{H}/\mathrm{m}.
    • G=40\\ \mu\mathrm{S}/\mathrm{m}.
    • C=400\\ \mathrm{pF}/\mathrm{m}.
Observação: a pergunta é sobre posição de nó de tensão para uma linha com carga aberta; a resposta depende da constante de fase \beta da linha (não da atenuação \alpha para a posição dos nós quando a reflexão tem fase zero).

Passo 2

Conceitos essenciais (aulas rápidas, sem pular etapas).
  • Solução geral para a tensão na linha (regime senoidal, dependência espacial): a tensão é soma de onda incidente e onda refletida. Tomando x como distância a partir da carga (portanto x=0 na carga e x>0 em direção ao gerador), a forma geral (no domínio fasorial) pode ser escrita, para coeficiente de reflexão \Gamma no ponto da carga: V(x)=V_0^+\,e^{-\gamma x}+V_0^-\,e^{\gamma x},onde \gamma=\alpha+j\beta é a constante de propagação da linha (com \alpha em Np/m e \beta em rad/m) e V_0^+ é a amplitude complexa da onda incidente na carga e V_0^-= \Gamma V_0^+ é a onda refletida avaliada na carga.
  • Para um circuito aberto a impedância da carga é Z_L=\infty. O coeficiente de reflexão no ponto da carga é \Gamma_L=\frac{Z_L-Z_0}{Z_L+Z_0}=+1.Isso significa reflexão com mesma amplitude e fase (fase zero).
  • Substituindo \Gamma_L=+1 e escrevendo explicitamente \gamma=\alpha+j\beta, para a amplitude (módulo) e fase a expressão pode ser reorganizada. Se escolhermos referência tal que V_0^+ seja real e positiva, então a tensão espacial (parte complexa que dá a forma) fica proporcional a V(x)\propto e^{-\alpha x}\cos(\beta x),até um fator de escala. A ideia: a soma de duas ondas com amplitudes iguais e fases opostas gera um padrão de “onda estacionária” com um termo \cos(\beta x) multiplicado por atenuação e^{-\alpha x}.
  • Logo, as posições de tensão nula (nós) satisfazem \cos(\beta x)=0 \quad\Longrightarrow\quad \beta x=\frac{\pi}{2}+n\pi,\\ n=0,1,2,\dotsO menor x>0 que satisfaz isso (primeiro nó a partir da carga) corresponde a n=0, ou seja x_{\min}=\frac{\pi}{2\beta}=\frac{\lambda}{4},onde \lambda=2\pi/\beta é o comprimento de onda (na linha). Portanto basta calcular \beta.

Passo 3

Como obter \beta a partir dos parâmetros da linha.
  • A constante de propagação é \gamma=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}=\alpha+j\beta,com \omega=2\pi f.
  • Para linhas com perdas pequenas (condição de baixa perda: R\ll\omega L e G\ll\omega C) existe uma aproximação simples e muito usada: \beta\approx\omega\sqrt{LC},\qquad \alpha\approx\frac{1}{2}\left(R\sqrt{\frac{C}{L}}+G\sqrt{\frac{L}{C}}\right).Esta aproximação é válida quando R/(\omega L) e G/(\omega C) são pequenos (mostrarei que aqui são pequenos).
  • Vamos calcular os termos numéricos:
    • \omega=2\pi f=2\pi\cdot 1{,}0\times 10^{6} = 6{,}283\,185\cdot 10^{6}\\ \mathrm{rad/s}.
    • Primeiro verificação de baixa perda: \frac{R}{\omega L}=\frac{0,1}{(6{,}283\,185\times 10^{6})(1\times 10^{-6})} =\frac{0,1}{6{,}283\,185\times 10^{0}}\approx 0,0159,
\frac{G}{\omega C}=\frac{40\times 10^{-6}}{(6{,}283\,185\times 10^{6})(400\times 10^{-12})} =\frac{40\times 10^{-6}}{6{,}283\,185\times 4\times 10^{-4}} \approx 0,0159.
Ambos são pequenos (\(\sim 1{,}6\%\)), então a aproximação de baixa perda é adequada.
  • Calcular \beta pela fórmula aproximada:
    • Calcular \sqrt{LC}: \sqrt{LC}=\sqrt{(1\times 10^{-6})(400\times 10^{-12})} =\sqrt{4\times 10^{-16}}=2\times 10^{-8}\\ \mathrm{s/m}.
    • Portanto \beta\approx\omega\sqrt{LC}=6{,}283\,185\times 10^{6}\times 2\times 10^{-8}=0{,}1256637\\ \mathrm{rad/m}.Arredondando com bom número de dígitos: \beta\approx 0{,}125664\\ \mathrm{rad/m}.
  • (Opcional, para ver a atenuação) calcular \alpha aproximado:
    • \sqrt{C/L}=\sqrt{\dfrac{400\times 10^{-12}}{1\times 10^{-6}}}=\sqrt{4\times 10^{-4}}=0{,}02.
    • \sqrt{L/C}=\dfrac{1}{0{,}02}=50.
    • Logo \alpha\approx\frac{1}{2}\Big(0{,}1\cdot 0{,}02 + (40\times 10^{-6})\cdot 50\Big) =\frac{1}{2}\big(0{,}002 + 0{,}002\big)=0{,}002\\ \mathrm{Np/m}.
    • Resultado: \alpha\approx 0{,}002\\ \mathrm{Np/m} (pequena atenuação, como esperado).

Passo 4

Determinar a menor distância a partir da carga onde a tensão é nula.
  • Usando a condição para o primeiro nó (nós em x=\lambda/4): x_{\min}=\frac{\pi}{2\beta}.
  • Como \beta\approx 0{,}1256637\\ \mathrm{rad/m}, x_{\min}=\frac{\pi}{2\cdot 0{,}1256637}=\frac{3{,}14159265}{0{,}2513274}\approx 12{,}5\\ \mathrm{m}.
  • Equivalente: o comprimento de onda na linha é \lambda=\frac{2\pi}{\beta}\approx\frac{2\pi}{0{,}1256637}\approx 50\\ \mathrm{m},e x_{\min}=\lambda/4=50/4=12{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação física curta e encorajamento.
  • Mesmo com perdas pequenas ( \alpha\neq 0) a posição do primeiro nó é ditada por \beta; as perdas apenas diminuem a amplitude das oscilações quando se afasta da carga, mas a primeira posição onde a soma das ondas incidente e refletida se anula é \lambda/4 a partir da carga quando a reflexão tem fase zero (caso do circuito aberto).
  • Você conseguiu: o cálculo reduziu-se a calcular \beta (ou \lambda) e aplicar x=\lambda/4. Vai bem — essa é uma pergunta clássica em linhas de transmissão!

Resposta

12,5\\ \mathrm{m}

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