Uma tensão de tração deve ser aplicada ao longo do eixo referente ao comprimento de um bastão cilíndrico de latão (Módulo de Elasticidade: E=97 GPa e Coeficiente de Poisson: v=0,3), que possui um diâmetro de 10 mm . Determine a magnitude da carga exigida para produzir uma alteração de 5 times 10^-3 mm no diâmetro. A deformação é puramente elástica.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um bastão cilíndrico de latão (E = 97 GPa, ν = 0,3) com diâmetro inicial de 10 mm. Ao aplicar tração no sentido do comprimento, o diâmetro diminui em Δd = 5×10⁻³ mm (alonga no eixo, contrai na transversal). A parada é puramente elástica. A gente precisa achar a carga P que causa essa contração lateral. Para resolver vamos usar definição de deformação, relação de Poisson e Lei de Hooke, além da área da seção.

Passo 2

Primeiro, calculamos a deformação lateral (transversal) ε_t definida por
varepsilont = De
Aqui Δd = –5×10⁻³ mm (fica menor) e d = 10 mm, então
varepsilont = -5times10^-310 = -5times10^-4

Passo 3

Pela definição do coeficiente de Poisson ν, a deformação lateral se relaciona com a deformação axial ε_a assim:
varepsilont = -nu,varepsilona
Logo
varepsilona = -varepsilontnu = --5times10^-40,3 = 1,6667times10^-3

Passo 4

Agora aplicamos a Lei de Hooke na direção axial:
sigma = E,varepsilona
Com E = 97 GPa = 97 000 N/mm²,
$$\sigma = 97,000,( \mathrm{N/mm^2}) \times 1{,}6667\times10^{-3}
= 161{,}667;\mathrm{N/mm^2}.$$

Passo 5

Para achar a carga P, multiplicamos a tensão pela área da seção transversal A do cilindro:
A = pi d^24 = pi,(10;mm)^24 = 78,54;mm^2
Então
$$P = \sigma,A = 161{,}667;\mathrm{N/mm2}\times78{,}54;\mathrm{mm2}
\approx 1{,}27\times10^4;\mathrm{N}.$$

Resposta

A carga necessária é P ≃ 1,27×10⁴ N (≈12,7 kN).

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