Uma tensão de tração deve ser aplicada ao longo do eixo referente ao comprimento de um bastão cilíndrico de latão ( v=0,34, E=97 \mathrm{GPa} )), que possui um diâmetro de 10 \mathrm{~mm}(0,4 \mathrm{pol}). Determine a magnitude da carga exigida para produzir uma alteração de 2,5.10^{-3} \mathrm{~mm}\left(10^{-4} \mathrm{pol}.\right) no diâmetro. A deformação é puramente elástica.

Passo 1

O enunciado dá um bastão cilíndrico de latão com raio inicial d_{0}=10\:\mathrm{mm}, coeficiente de Poisson \nu=0,34 e módulo de elasticidade E=97\:\mathrm{GPa}. Sob tração ao longo do eixo longitudinal, o diâmetro diminui de \Delta d=2{,}5\times10^{-3}\:\mathrm{mm}.
Conteúdos necessários:
  • deformação lateral \varepsilon_{x}=\Delta d/d_{0},
  • relação de Poisson \varepsilon_{x}=-\nu\,\varepsilon_{z},
  • Lei de Hooke \sigma_{z}=E\,\varepsilon_{z},
  • cálculo da força F=\sigma_{z}A com A=\pi d_{0}^{2}/4.

Passo 2

Calcular a deformação lateral
\varepsilon_{x}=\frac{\Delta d}{d_{0}} =\frac{-2{,}5\times10^{-3}\:\mathrm{mm}}{10\:\mathrm{mm}} =-2{,}5\times10^{-4}.
(O sinal negativo indica contração do diâmetro.)

Passo 3

Usar a relação de Poisson para obter a deformação axial \varepsilon_{z}:
\varepsilon_{x}=-\nu\,\varepsilon_{z} \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_{z}=-\frac{\varepsilon_{x}}{\nu} =-\frac{-2{,}5\times10^{-4}}{0{,}34} \approx7{,}35\times10^{-4}.

Passo 4

Calcular a tensão axial pelo módulo de elasticidade:
\sigma_{z}=E\,\varepsilon_{z} =97\times10^{9}\:\mathrm{Pa}\times7{,}35\times10^{-4} \approx7{,}13\times10^{7}\:\mathrm{Pa}.

Passo 5

A área da seção transversal é
A=\frac{\pi d_{0}^{2}}{4} =\frac{\pi\,(0{,}01\:\mathrm{m})^{2}}{4} \approx7{,}854\times10^{-5}\:\mathrm{m}^{2}.
Logo a força exigida é
F=\sigma_{z}\,A \approx7{,}13\times10^{7}\:\mathrm{Pa}\times7{,}854\times10^{-5}\:\mathrm{m}^{2} \approx5{,}60\times10^{3}\:\mathrm{N}.

Resposta

A carga requerida é aproximadamente 5{,}6\:\mathrm{kN}.

Exercícios relacionados