Para à tensão V(t)=30 \operatorname{sen}\left(3 t+52^{\circ}\right) V, determine o tempo em que a tensão é máxima (positiva e negativa) e as duas passagens por zero.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede, e as hipóteses que vou usar (sem perguntar nada a mais).
  • Dado: a tensão V(t)=30\operatorname{sen}\left(3t+52^\circ\right)\\ \text{V}.
  • Pedido: encontrar (em tempo t, em segundos)
    1. o instante em que a tensão é máxima positiva;
    2. o instante em que a tensão é máxima negativa (mínimo);
    3. as duas passagens por zero (dois instantes em que V(t)=0).
  • Observação (hipótese usada): o símbolo {}^\circ em 52^\circ indica que os ângulos estão em graus, logo o termo 3t também está em graus (ou seja, 3 significa 3^\circ/\text{s}). Vou procurar soluções com t\ge 0.

Passo 2

Conceitos fundamentais que vou usar (explicação didática, sem pular etapas).
  • Denotando a fase por \theta(t)=3t+52^\circ, temos V(t)=30\sin\big(\theta(t)\big).
  • Quando \sin(\theta)=1 a função seno atinge seu máximo +1, então V=+30\\ \text{V}. As fases que tornam \sin(\theta)=1 são
\theta = 90^\circ + 360^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Isto vem da forma periódica do seno: uma volta completa é 360^\circ.
  • Quando \sin(\theta)=-1 a função atinge seu mínimo -1, então V=-30\\ \text{V}. As fases que dão \sin(\theta)=-1 são
\theta = 270^\circ + 360^\circ k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • As passagens por zero ocorrem quando \sin(\theta)=0, isto é
\theta = 0^\circ + 180^\circ n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Período em tempo: se a fase aumenta 360^\circ a função repete. Como a fase cresce com 3^\circ/\text{s}, o período é
T=\frac{360^\circ}{3^\circ/\text{s}}=120\\ \text{s}.
Isso significa que as soluções para cada caso se repetem a cada 120\\ \text{s}.

Passo 3

Calcular o instante da máxima positiva (usar a condição \theta=90^\circ+360k).
  • Escrevendo a equação com \theta(t):
3t+52^\circ = 90^\circ + 360^\circ k.
  • Isolando t:
t=\frac{90^\circ-52^\circ+360^\circ k}{3}=\frac{38^\circ+360^\circ k}{3}.
  • Solução geral:
t=\frac{38+360k}{3}\\ \text{s},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Para o primeiro instante não negativo (menor t\ge0) escolha k=0:
t=\frac{38}{3}\\ \text{s}\approx 12{,}666\ldots\\ \text{s}\approx 12{,}67\\ \text{s}.
  • Verificação rápida: em t=38/3 a fase é 3\cdot\frac{38}{3}+52^\circ=38^\circ+52^\circ=90^\circ, e \sin(90^\circ)=1, então V=30\\ \text{V} como esperado.

Passo 4

Calcular o instante da máxima negativa (mínimo) usando \theta=270^\circ+360k.
  • Montando a equação:
3t+52^\circ = 270^\circ + 360^\circ k.
  • Isolando t:
t=\frac{270^\circ-52^\circ+360^\circ k}{3}=\frac{218^\circ+360^\circ k}{3}.
  • Solução geral:
t=\frac{218+360k}{3}\\ \text{s},\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Para a primeira ocorrência com t\ge0 use k=0:
t=\frac{218}{3}\\ \text{s}\approx 72{,}666\ldots\\ \text{s}\approx 72{,}67\\ \text{s}.
  • Verificação: em t=218/3 a fase é 270^\circ, \sin(270^\circ)=-1, então V=-30\\ \text{V}.

Passo 5

Calcular as passagens por zero usando \theta=0^\circ+180^\circ n.
  • Equação:
3t+52^\circ = 180^\circ n.
  • Isolando t:
t=\frac{180^\circ n-52^\circ}{3}=\frac{180n-52}{3}\\ \text{s},\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Procurando os instantes t\ge0:
    • Para n=0 obtemos t=-\dfrac{52}{3} (negativo), descartamos se queremos t\ge0.
    • Para n=1:
    t=\frac{180-52}{3}=\frac{128}{3}\\ \text{s}\approx 42{,}666\ldots\\ \text{s}\approx 42{,}67\\ \text{s}.
    • Para n=2:
    t=\frac{360-52}{3}=\frac{308}{3}\\ \text{s}\approx 102{,}666\ldots\\ \text{s}\approx 102{,}67\\ \text{s}.
  • Essas são as duas primeiras passagens por zero com t\ge0. (A sequência continua adicionando o período T=120\\ \text{s}.)
  • Verificação: em t=128/3 a fase é 180^\circ e \sin(180^\circ)=0; em t=308/3 a fase é 360^\circ e \sin(360^\circ)=0.

Passo 6

Resumo intuitivo e cheque rápido:
  • A função tem período T=120\\ \text{s}.
  • Primeiro máximo positivo em t=\dfrac{38}{3}\\ \text{s} com V=+30\\ \text{V}.
  • Primeiro máximo negativo (mínimo) em t=\dfrac{218}{3}\\ \text{s} com V=-30\\ \text{V}.
  • Duas primeiras passagens por zero (para t\ge0) em t=\dfrac{128}{3}\\ \text{s} e t=\dfrac{308}{3}\\ \text{s}.
    Tudo bate com as fórmulas de fase usadas acima.

Resposta

t_{\text{máx positiva}}=\dfrac{38}{3}\\ \text{s}\approx 12{,}67\\ \text{s}á
t_{\text{máx negativa}}=\dfrac{218}{3}\\ \text{s}\approx 72{,}67\\ \text{s}á
t_{\text{passagem por zero 1}}=\dfrac{128}{3}\\ \text{s}\approx 42{,}67\\ \text{s}
t_{\text{passagem por zero 2}}=\dfrac{308}{3}\\ \text{s}\approx 102{,}67\\ \text{s}

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