Como tensões podem ser concentradas em um material? Para um furo elíptico, dê a relação entre tensão nominal e tensão amplificada pelo defeito.

Passo 1

O enunciado pergunta como surgem concentrações de tensão em um material e, mais especificamente, pede para relacionar a tensão nominal à tensão amplificada em torno de um furo elíptico. O conteúdo aqui é Mecânica dos Sólidos, no tópico de concentração de tensões, usando a solução clássica de Kirsch para um furo elíptico em chapa infinita submetida a tração uniaxial.

Passo 2

Concentração de tensões ocorre sempre que há descontinuidades geométricas (furos, entalhes, mudanças de seção) que fazem o campo de tensão se “curvar” e atingir valores locais bem maiores que a tensão nominal aplicada à peça. Para quantificar isso, define-se o fator de concentração de tensões
K_t = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\nom}}
onde \sigma_{\nom} é a tensão nominal longe do defeito e \sigma_{\max} é o pico de tensão na borda do defeito.

Passo 3

No caso de um furo elíptico de semieixo maior a e semieixo menor b inserido em uma chapa infinita submetida à tensão nominal \sigma_{\nom} aplicada perpendicular ao eixo maior, a geometria é descrita por
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
e a tração monocromática atua no sentido y.

Passo 4

Aplicando a solução de Kirsch estendida para elipse, obtém-se que o valor máximo de tensão tangencial na superfície do furo ocorre nos extremos do eixo menor e vale
\sigma_{\max} = \sigma_{\nom}\,\bigl(1 + 2\,\tfrac{a}{b}\bigr).
Dessa forma, o fator de concentração de tensões é
K_t = 1 + 2\,\frac{a}{b}.

Resposta

\sigma_{\max} = \sigma_{\nom}\,\Bigl(1 + 2\,\frac{a}{b}\Bigr)
ou seja
K_t = 1 + 2\,\frac{a}{b}.

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