(Teorema do Limite Central) Suponha que 100 homens estejam em um avião. Vamos considerar X_{i} o peso em libras do enésimo homem no avião (só por curiosidade, uma libra =0,4535 \mathrm{~kg} ). As variáveis X_{i} são i.i.d. com E\left[X_{i}\right]=\mu=170 e \sigma_{x i}=\sigma=30. Determine a probabilidade do peso total dos homens não exceder 18000 libras.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a probabilidade de que o peso total dos 100 homens não exceda 18000 libras, ou seja calcular
\mathbb{P}\Big(S_{100} \le 18000\Big)
onde S_{100}=\sum_{i=1}^{100} X_i.
Informações fornecidas pelo enunciado:
X_1,\dots,X_{100}\\ \text{são i.i.d.}ã
\mathbb{E}[X_i]=\mu=170
\operatorname{sd}(X_i)=\sigma=30
\text{número de pessoas: } n=100ú

Passo 2

Comentário didático: por que podemos usar o Teorema do Limite Central (TLC) aqui?
O Teorema do Limite Central diz, em linguagem simples e útil para provas, o seguinte: se X_1,\dots,X_n são variáveis independentes e identicamente distribuídas com média finita \mu e variância finita \sigma^2, então a soma S_n=\sum_{i=1}^n X_i (ou a média amostral) tem, para n grande, uma distribuição aproximadamente normal. Mais precisamente, a variável padronizada
Z=\frac{S_n - n\mu}{\sqrt{n}\,\sigma}
é aproximadamente \mathcal{N}(0,1) (normal padrão).
Por que isso é útil aqui? Porque temos n=100, que é grande o suficiente na prática para que a aproximação normal seja muito boa, e as X_i são i.i.d. com média e desvio padrão dados. Então podemos aproximar a distribuição de S_{100} por uma normal com média e variância conhecidas — e daí calcular probabilidades usando a tabela ou a função de distribuição da normal padrão.

Passo 3

Calcular a média e o desvio padrão da soma S_{100}.
A média da soma é
\mathbb{E}[S_{100}] = n\mu = 100\cdot 170 = 17000.
A variância da soma é
\operatorname{Var}(S_{100}) = n\sigma^2 = 100\cdot 30^2 = 100\cdot 900 = 90000.
Logo o desvio padrão de S_{100} é
\operatorname{sd}(S_{100}) = \sqrt{90000} = 300.

Passo 4

Padronizar o evento pedido para usar a normal padrão.
Queremos
\mathbb{P}\big(S_{100} \le 18000\big).
Aplicando a padronização com média 17000 e desvio padrão 300, definimos
Z=\frac{S_{100}-17000}{300}\approx \mathcal{N}(0,1).
Então
\mathbb{P}\big(S_{100} \le 18000\big) = \mathbb{P}\!\left( \frac{S_{100}-17000}{300} \le \frac{18000-17000}{300} \right) = \mathbb{P}\big(Z \le z_0\big),
onde
z_0=\frac{18000-17000}{300}=\frac{1000}{300}=\frac{10}{3}\approx 3,3333.

Passo 5

Avaliar a probabilidade usando a função de distribuição da normal padrão.
A probabilidade pedida é aproximadamente
\mathbb{P}(Z \le 3,3333)=\Phi(3,3333),
onde \Phi é a CDF da normal padrão.
Consultando tabela de normal padrão ou avaliando numericamente, obtemos
\Phi(3,3333)\approx 0,99958.
Como verificação intuitiva: a cauda à direita é muito pequena,
\mathbb{P}(S_{100} > 18000) \approx 1-0,99958 = 0,00042,
ou seja é muito improvável que o peso total ultrapasse 18000 libras.

Passo 6

Interpretação final e incentivo: a soma esperada é 17000 libras e a flutuação típica (desvio padrão) é 300 libras, então 18000 está mais de 3 desvios padrão acima da média — por isso a probabilidade de não exceder 18000 é praticamente 1. Você está indo bem por seguir passo a passo — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova!

Resposta

0,99958

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