(Teorema do Limite Central) Suponha que 100 homens estejam em um avião. Vamos considerar
o peso em libras do enésimo homem no avião (só por curiosidade, uma libra
). As variáveis
são i.i.d. com
e
. Determine a probabilidade do peso total dos homens não exceder 18000 libras.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a probabilidade de que o peso total dos 100 homens não exceda 18000 libras, ou seja calcular
onde
.
Informações fornecidas pelo enunciado:
Passo 2
Comentário didático: por que podemos usar o Teorema do Limite Central (TLC) aqui?
O Teorema do Limite Central diz, em linguagem simples e útil para provas, o seguinte: se
são variáveis independentes e identicamente distribuídas com média finita
e variância finita
, então a soma
(ou a média amostral) tem, para
grande, uma distribuição aproximadamente normal. Mais precisamente, a variável padronizada
é aproximadamente
(normal padrão).
Por que isso é útil aqui? Porque temos
, que é grande o suficiente na prática para que a aproximação normal seja muito boa, e as
são i.i.d. com média e desvio padrão dados. Então podemos aproximar a distribuição de
por uma normal com média e variância conhecidas — e daí calcular probabilidades usando a tabela ou a função de distribuição da normal padrão.
Passo 3
Calcular a média e o desvio padrão da soma
.
A média da soma é
A variância da soma é
Logo o desvio padrão de
é
Passo 4
Padronizar o evento pedido para usar a normal padrão.
Queremos
Aplicando a padronização com média
e desvio padrão
, definimos
Então
onde
Passo 5
Avaliar a probabilidade usando a função de distribuição da normal padrão.
A probabilidade pedida é aproximadamente
onde
é a CDF da normal padrão.
Consultando tabela de normal padrão ou avaliando numericamente, obtemos
Como verificação intuitiva: a cauda à direita é muito pequena,
ou seja é muito improvável que o peso total ultrapasse 18000 libras.
Passo 6
Interpretação final e incentivo: a soma esperada é
libras e a flutuação típica (desvio padrão) é
libras, então
está mais de 3 desvios padrão acima da média — por isso a probabilidade de não exceder
é praticamente 1. Você está indo bem por seguir passo a passo — isso é exatamente o tipo de raciocínio que cai na prova!