Considere o lançamento de duas moedas.
a) Defina o espaço amostral.
b) Liste os eventos:
i. Pelo menos uma cara
ii. Duas caras
iii. O complementar do evento ii.
c) Obtenha as probabilidades dos eventos em (b).

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre o experimento “lançamento de duas moedas”: (a) definir o espaço amostral; (b) listar três eventos — (i) pelo menos uma cara, (ii) duas caras, (iii) o complementar do evento (ii); (c) calcular as probabilidades desses eventos.
Informações dadas / suposições que vou usar (explícitas): estamos lançando duas moedas e vou assumir que cada resultado elementar (cada sequência de resultados) é igualmente provável — isso é o modelo usual quando não se diz o contrário (moedas justas e lançamentos independentes). Vou representar cada resultado como uma sequência ordenada: primeiro lançamento, segundo lançamento.

Passo 2

Definição do espaço amostral e por que: o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Como cada moeda pode dar “cara” ou “coroa” (vou denotar “cara” por H e “coroa” por T) e os lançamentos são ordenados (primeiro e segundo), todas as possibilidades são as combinações ordenadas de H e T. Assim,
S=\{HH,HT,TH,TT\}.
Explicação curta: HH significa cara no primeiro e cara no segundo; HT significa cara no primeiro e coroa no segundo; etc.

Passo 3

Evento (b-i): “Pelo menos uma cara”.
Definição conceitual: “pelo menos uma cara” significa que ao menos um dos dois lançamentos deu H, ou seja, exclui apenas o caso em que ambos deram T. Então o evento é o subconjunto de S que contém todos os resultados com uma ou duas caras:
A=\{HH,HT,TH\}.
Comentário didático: é sempre bom verificar cada elemento do espaço amostral e perguntar “tem pelo menos um H?” — HH sim, HT sim, TH sim, TT não.

Passo 4

Evento (b-ii): “Duas caras”.
Definição conceitual: significa que os dois lançamentos deram H. No nosso espaço amostral, isso corresponde apenas ao elemento HH. Assim,
B=\{HH\}.
Explicação: é o caso único em que há exatamente duas caras.

Passo 5

Evento (b-iii): “O complementar do evento (ii)”.
Definição conceitual: o complementar de um evento B, denotado B^{c}, é o conjunto de todos os pontos do espaço amostral que não pertencem a B. Como B=\{HH\}, seu complementar é
B^{c}=\{HT,TH,TT\}.
Comentário: isso é exatamente “não ocorrer duas caras”, ou seja, ocorrer zero ou uma cara.

Passo 6

Noções de probabilidade que usaremos (aula rápida): quando todos os resultados elementares em S são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento E\subseteq S é
P(E)=\frac{\text{nº de elementos favoráveis a }E}{\text{nº de elementos de }S}.ºáº
Aqui o número total de elementos de S é |S|=4. Também é útil a regra do complementar:
P(E^{c})=1-P(E).
Vou aplicar essas fórmulas aos eventos listados.

Passo 7

Calcular P do evento (b-i) “pelo menos uma cara”: o evento A tem |A|=3 elementos ( HH,HT,TH) e |S|=4, logo
P(A)=\frac{3}{4}.
Interpretação: em média, em 3 de cada 4 repetições desse experimento aparece pelo menos uma cara.

Passo 8

Calcular P do evento (b-ii) “duas caras”: o evento B tem |B|=1 elemento ( HH), logo
P(B)=\frac{1}{4}.
Comentário: podemos também pensar que a probabilidade de H no primeiro é 1/2 e no segundo é 1/2; como são independentes, P(HH)=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.

Passo 9

Calcular P do evento (b-iii) “complementar de (ii)”: usando a contagem direta |B^{c}|=3 temos
P(B^{c})=\frac{3}{4},
ou usando a regra do complementar,
P(B^{c})=1-P(B)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Ambas as formas dão o mesmo resultado.

Resposta

(a) \;S=\{HH,HT,TH,TT\}
(b.i) \;A=\{HH,HT,TH\}
(b.ii) \;B=\{HH\}
(b.iii) \;B^{c}=\{HT,TH,TT\}
(c) \;P(A)=\tfrac{3}{4}
\;P(B)=\tfrac{1}{4}
\;P(B^{c})=\tfrac{3}{4}

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