Considere o lançamento de duas moedas.
a) Defina o espaço amostral.
b) Liste os eventos:
i. Pelo menos uma cara
ii. Duas caras
iii. O complementar do evento ii.
c) Obtenha as probabilidades dos eventos em (b).
a) Defina o espaço amostral.
b) Liste os eventos:
i. Pelo menos uma cara
ii. Duas caras
iii. O complementar do evento ii.
c) Obtenha as probabilidades dos eventos em (b).
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre o experimento “lançamento de duas moedas”: (a) definir o espaço amostral; (b) listar três eventos — (i) pelo menos uma cara, (ii) duas caras, (iii) o complementar do evento (ii); (c) calcular as probabilidades desses eventos.
Informações dadas / suposições que vou usar (explícitas): estamos lançando duas moedas e vou assumir que cada resultado elementar (cada sequência de resultados) é igualmente provável — isso é o modelo usual quando não se diz o contrário (moedas justas e lançamentos independentes). Vou representar cada resultado como uma sequência ordenada: primeiro lançamento, segundo lançamento.
Informações dadas / suposições que vou usar (explícitas): estamos lançando duas moedas e vou assumir que cada resultado elementar (cada sequência de resultados) é igualmente provável — isso é o modelo usual quando não se diz o contrário (moedas justas e lançamentos independentes). Vou representar cada resultado como uma sequência ordenada: primeiro lançamento, segundo lançamento.
Passo 2
Definição do espaço amostral e por que: o espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento. Como cada moeda pode dar “cara” ou “coroa” (vou denotar “cara” por
e “coroa” por
) e os lançamentos são ordenados (primeiro e segundo), todas as possibilidades são as combinações ordenadas de
e
. Assim,
Explicação curta:
significa cara no primeiro e cara no segundo;
significa cara no primeiro e coroa no segundo; etc.
Passo 3
Evento (b-i): “Pelo menos uma cara”.
Definição conceitual: “pelo menos uma cara” significa que ao menos um dos dois lançamentos deu , ou seja, exclui apenas o caso em que ambos deram
. Então o evento é o subconjunto de
que contém todos os resultados com uma ou duas caras:
Definição conceitual: “pelo menos uma cara” significa que ao menos um dos dois lançamentos deu
Comentário didático: é sempre bom verificar cada elemento do espaço amostral e perguntar “tem pelo menos um
?” —
sim,
sim,
sim,
não.
Passo 4
Evento (b-ii): “Duas caras”.
Definição conceitual: significa que os dois lançamentos deram . No nosso espaço amostral, isso corresponde apenas ao elemento
. Assim,
Definição conceitual: significa que os dois lançamentos deram
Explicação: é o caso único em que há exatamente duas caras.
Passo 5
Evento (b-iii): “O complementar do evento (ii)”.
Definição conceitual: o complementar de um evento , denotado
, é o conjunto de todos os pontos do espaço amostral que não pertencem a
. Como
, seu complementar é
Definição conceitual: o complementar de um evento
Comentário: isso é exatamente “não ocorrer duas caras”, ou seja, ocorrer zero ou uma cara.
Passo 6
Noções de probabilidade que usaremos (aula rápida): quando todos os resultados elementares em
são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento
é
Aqui o número total de elementos de
é
. Também é útil a regra do complementar:
Vou aplicar essas fórmulas aos eventos listados.
Passo 7
Calcular
do evento (b-i) “pelo menos uma cara”: o evento
tem
elementos (
) e
, logo
Interpretação: em média, em 3 de cada 4 repetições desse experimento aparece pelo menos uma cara.
Passo 8
Calcular
do evento (b-ii) “duas caras”: o evento
tem
elemento (
), logo
Comentário: podemos também pensar que a probabilidade de
no primeiro é
e no segundo é
; como são independentes,
.
Passo 9
Calcular
do evento (b-iii) “complementar de (ii)”: usando a contagem direta
temos
ou usando a regra do complementar,
Ambas as formas dão o mesmo resultado.
Resposta
(a)
(b.i)
(b.ii)
(b.iii)
(c)
(b.i)
(b.ii)
(b.iii)
(c)