Qual o teorema Trabalho-Energia.

Passo 1

O que o enunciado pede: explicar qual é o teorema Trabalho–Energia.
Informações dadas: nenhuma específica — a pergunta é conceitual.
Objetivo aqui: apresentar o enunciado do teorema, mostrar a demonstração passo a passo (de modo que você entenda e consiga reproduzir na prova), explicar cada conceito usado (trabalho, força resultante, energia cinética) e dar dicas de aplicação em exercícios.

Passo 2

Definição de trabalho aplicado por uma força: seja uma partícula sujeita a uma força \vec F que desloca a partícula de \vec r para \vec r+d\vec r. O trabalho infinitesimal feito por essa força é
dW=\vec F\cdot d\vec r.
Explicando devagar:
  • \vec F é a força (vetor), com unidades de newton (\text{N}).
  • d\vec r é o deslocamento infinitesimal (vetor), em metros (\text{m}).
  • O produto escalar \vec F\cdot d\vec r extrai a componente da força na direção do deslocamento; se a força for constante e o deslocamento for \Delta\vec r, então
W=\vec F\cdot\Delta\vec r=F\,\Delta r\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec F e \Delta\vec r. Unidade do trabalho: joule (\text{J})=\text{N}\cdot\text{m}.

Passo 3

Definição de energia cinética: para uma partícula de massa m com velocidade \vec v, a energia cinética é
K=\frac{1}{2}m v^2,
onde v=|\vec v|. Aqui:
  • m é a massa (kg).
  • v^2 é o quadrado da velocidade (m2/s2).
    Energia cinética também tem unidades de joule.

Passo 4

Demonstração do teorema Trabalho–Energia (passo a passo, usando cálculo mas explicando cada linha).
  1. Comece com a segunda lei de Newton para a força resultante \vec F_{\text{res}}:
\vec F_{\text{res}}=m\vec a = m\frac{d\vec v}{dt}.
  1. Escreva o trabalho infinitesimal feito pela força resultante:
dW_{\text{res}}=\vec F_{\text{res}}\cdot d\vec r.
  1. Use d\vec r=\vec v\,dt (o deslocamento em um intervalo de tempo dt é velocidade vezes tempo):
dW_{\text{res}}=\vec F_{\text{res}}\cdot\vec v\,dt.
  1. Substitua \vec F_{\text{res}}=m\frac{d\vec v}{dt}:
dW_{\text{res}}=m\frac{d\vec v}{dt}\cdot\vec v\,dt = m\vec v\cdot d\vec v.
  1. Use a identidade do produto escalar: \vec v\cdot d\vec v = \tfrac{1}{2}d(v^2). Justificação: d(v^2)=d(\vec v\cdot\vec v)=2\vec v\cdot d\vec v. Assim,
dW_{\text{res}}=m\cdot\tfrac{1}{2}d(v^2)=\tfrac{1}{2}m\,d(v^2).
  1. Integre ambos os lados do estado inicial ao final:
\int_{i}^{f} dW_{\text{res}} = \int_{v_i}^{v_f} \tfrac{1}{2}m\,d(v^2).
O lado esquerdo é o trabalho total da força resultante W_{\text{res}} e o lado direito é \tfrac{1}{2}m(v_f^2-v_i^2). Portanto
W_{\text{res}}=\tfrac{1}{2}m v_f^2 - \tfrac{1}{2}m v_i^2.

Passo 5

Interpretação final e fórmula enxuta: o teorema afirma que o trabalho da força resultante sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula. Em símbolo compacto:
W_{\text{res}}=\Delta K = K_f-K_i=\tfrac{1}{2}m v_f^2-\tfrac{1}{2}m v_i^2.
Observações importantes para usar na prova:
  • Se várias forças atuam, o trabalho total da resultante é a soma dos trabalhos feitos por cada força: W_{\text{res}}=\sum W_j. Logo \sum W_j=\Delta K.
  • Para forças conservativas (por exemplo gravidade, mola ideal) vale W_{\text{cons}}=-\Delta U, onde U é a energia potencial associada. Assim, separando forças conservativas e não conservativas, obtém-se a forma
W_{\text{nc}}=\Delta K + \Delta U = \Delta E_{\text{mec}},
ou mais comum
W_{\text{nc}}=\Delta E_{\text{mec}}=\Delta(K+U),
onde W_{\text{nc}} é o trabalho das forças não conservativas (por exemplo atrito). Isso é útil para resolver exercícios sem integrar todas as forças individualmente.

Passo 6

Exemplo curto (para fixar): uma força constante \vec F paralela ao deslocamento acelera uma massa m do repouso por uma distância \Delta x. Trabalho feito: W=F\Delta x. Pelo teorema:
F\Delta x=\tfrac{1}{2}m v_f^2 - 0 \quad\Rightarrow\quad v_f=\sqrt{\frac{2F\Delta x}{m}}.
Comentário: esse é o jeito rápido de encontrar velocidade final sem integrar aceleração separadamente.

Passo 7

Dicas práticas e armadilhas comuns (rápido):
  • Sempre calcule o trabalho ao longo do caminho: para forças não constantes, use W=\int \vec F\cdot d\vec r.
  • O teorema fala do trabalho da força resultante (ou da soma dos trabalhos de todas as forças); não confunda com trabalho de uma única força isolada, a não ser que seja a única atuante.
  • Sinal do trabalho: trabalho negativo diminui K, trabalho positivo aumenta K.
  • Use a versão com energia potencial quando houver forças conservativas — costuma simplificar muito.

Resposta

O teorema Trabalho–Energia: W_{\text{res}}=\Delta K=\tfrac{1}{2}m v_f^2-\tfrac{1}{2}m v_i^2.

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