O teorema do trabalho-energia cinética vale também para partículas que estejam se movendo em alta velocidade. Qual o trabalho, em keV, necessário para acelerar um elétron a partir do repouso até uma velocidade de 0,999 \mathrm{c}?

Passo 1

O enunciado pede o trabalho necessário para acelerar um elétron do repouso até v=0,999\,c. Como estamos em alta velocidade, usamos a relatividade restrita: a energia total de repouso é E_0 = m c^2 e a energia cinética relativística é
K = E - E_0 = \gamma\,m c^2 - m c^2 = (\gamma - 1)\,m c^2
onde \gamma é o fator de Lorentz.

Passo 2

Pelo teorema trabalho-energia, o trabalho W aplicado é igual à variação da energia cinética, ou seja,
W = \Delta K = K = (\gamma - 1)\,m c^2
com
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\,.

Passo 3

Para v = 0,999\,c, calculemos \gamma:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (0,999)^2}} \approx 22,366.

Passo 4

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\gamma - 1 \approx 21,366
e como a energia de repouso do elétron é m c^2 = 511\,\mathrm{keV}, temos
W = (\gamma - 1)\,m c^2 \approx 21,366 \times 511\,\mathrm{keV} \approx 10\,916\,\mathrm{keV}.

Resposta

1,09\times 10^4 keV.

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