Teorema do valor intermediário. Considere a função
f(x)=x^{4}-3 x^{2}-2 x-1 .
Mostre que existe um ponto c \in[2,3] tal que f(x)=20.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Intermediário na função
f(x)=x^{4}-3x^{2}-2x-1
de modo a mostrar que existe c\in[2,3] tal que f\text{(c)}=20. O conteúdo envolvido é continuidade de polinômios e o uso do Teorema do Valor Intermediário, que garante valores intermediários entre f(2) e f(3).

Passo 2

Observamos que f é um polinômio em x, e todo polinômio é contínuo em \mathbb{R}. Logo, f é contínua em [2,3].

Passo 3

Agora calculamos os valores de f nos extremos do intervalo:
f(2)=2^{4}-3\cdot2^{2}-2\cdot2-1 =16-12-4-1=-1,
f(3)=3^{4}-3\cdot3^{2}-2\cdot3-1 =81-27-6-1=47.
Portanto
f(2)=-1<20<47=f(3).

Passo 4

Como f é contínua em [2,3] e 20 está entre f(2) e f(3), o Teorema do Valor Intermediário garante a existência de pelo menos um c\in(2,3)\subset[2,3] tal que
f\text{(c)}=20.

Resposta

Existe c\in[2,3] tal que f\text{(c)}=20.

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