Teorema do valor intermediário. Considere a função
f(x)=x^{4}-3 x^{2}-2 x-1 .
Mostre que f possui raiz no intervalo [2,3].

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{4}-3x^{2}-2x-1
e pede para mostrar que existe c\in[2,3] tal que f\text{(c)}=0. O conteúdo aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que requer verificar que f é contínua em [2,3] e que f(2) e f(3) têm sinais opostos.

Passo 2

Como f é um polinômio, ela é contínua em todo \mathbb{R}, logo em particular em [2,3]. Vamos calcular
f(2)=2^{4}-3\cdot2^{2}-2\cdot2-1=16-12-4-1=-1,
f(3)=3^{4}-3\cdot3^{2}-2\cdot3-1=81-27-6-1=47.

Passo 3

Observamos que
f(2)=-1<0<47=f(3).
Pelo Teorema do Valor Intermediário, uma função contínua que assume valores de sinais contrários em duas extremidades de um intervalo deve anular-se em algum ponto interno. Logo existe c\in[2,3] tal que f\text{(c)}=0.

Resposta

Existe pelo menos uma raiz de f no intervalo [2,3].

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