Encontre o valor de a \in \mathbb{R} tal que a seguinte função seja contínua:
f(x)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{x^{2}-(a+1) x+a}{x-1} & , & x \neq 1 \\\\ 5+a & , & x=1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x^{2}-(a+1)x+a}{x-1}, & x\neq1,\\\\ 5+a, & x=1, \end{cases}
e pede que ela seja contínua em x=1. Para isso, precisamos que
\lim_{x\to1}f(x)=f(1).

Passo 2

Vamos fatorar o numerador x^{2}-(a+1)x+a. Observe que para x=1 temos
1-(a+1)+a=0,
logo x=1 é raiz. Procuramos a outra raiz. As raízes da equação
x^{2}-(a+1)x+a=0
são
x=\frac{(a+1)\pm\sqrt{(a+1)^{2}-4a}}{2} =\frac{(a+1)\pm\sqrt{a^{2}-2a+1}}{2} =\frac{(a+1)\pm|a-1|}{2},
que equivalem a x=1 e x=a. Logo
x^{2}-(a+1)x+a=(x-1)(x-a).

Passo 3

Para x\neq1 temos
f(x)=\frac{(x-1)(x-a)}{x-1}=x-a,
que é contínua em toda parte. Assim
\lim_{x\to1}f(x)=1-a.

Passo 4

Impondo continuidade em x=1:
\lim_{x\to1}f(x)=f(1) \quad\Longrightarrow\quad 1-a=5+a.
Resolvendo:
1-a=5+a \quad\Longrightarrow\quad 1-5=2a \quad\Longrightarrow\quad -4=2a \quad\Longrightarrow\quad a=-2.

Resposta

-2

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