A teoria de Euler é válida somente quando:
Escolha uma opção:
◯ a. o elemento possui baixa esbeltez e grande rigidez.
◯ b. a carga crítica é maior que o limite de escoamento.
◯ c. ocorrem grandes deslocamentos e não linearidades.
◯ d. a coluna apresenta esbeltez elevada.
◯ e. o material trabalha em regime plástico.

Passo 1

O enunciado pergunta: “A teoria de Euler é válida somente quando:” e apresenta as opções:
a. o elemento possui baixa esbeltez e grande rigidez.
b. a carga crítica é maior que o limite de escoamento.
c. ocorrem grandes deslocamentos e não linearidades.
d. a coluna apresenta esbeltez elevada.
e. o material trabalha em regime plástico.
Meu objetivo é identificar qual opção está correta, usando as informações do enunciado (as cinco alternativas).

Passo 2

Vamos apresentar a fórmula clássica de Euler para carga crítica de flambagem e explicar o que cada símbolo significa. A fórmula é:
P_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}
onde:
  • P_{cr} é a carga crítica de flambagem (força),
  • E é o módulo de elasticidade do material (rigidez elástica do material),
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flambagem,
  • L é o comprimento da coluna,
  • K é o fator de comprimento efetivo (depende das condições de contorno, por exemplo K=1 para extremidades engastadas-livres, K=0,7 para ambas engastadas, etc.).
    Essa fórmula vem da solução linear da equação diferencial da viga sob compressão, assumindo comportamento elástico linear e pequenas deflexões.

Passo 3

Agora vamos relacionar P_{cr} com a tensão crítica média na seção. Definimos a área da seção como A e o raio de giração como
r=\sqrt{\frac{I}{A}}.
A tensão crítica média é
\sigma_{cr}=\frac{P_{cr}}{A}.
Substituindo P_{cr} e usando I=A r^{2}, obtemos (apresento os passos):
\sigma_{cr}=\frac{1}{A}\cdot\frac{\pi^{2} E I}{(K L)^{2}}=\frac{\pi^{2} E A r^{2}}{A (K L)^{2}}=\frac{\pi^{2} E r^{2}}{(K L)^{2}}.
Definindo a esbeltez efetiva \lambda como
\lambda=\frac{K L}{r},
a expressão fica muito simples:
\sigma_{cr}=\frac{\pi^{2} E}{\lambda^{2}}.
Essa expressão mostra que quanto maior a esbeltez \lambda, menor a tensão crítica por flambagem — ou seja, colunas muito esbeltas flambam com cargas pequenas.

Passo 4

Quais são as hipóteses por trás da teoria de Euler? É importante listar para saber quando ela é aplicável:
  • comportamento elástico linear do material (Lei de Hooke válida: tensão proporcional à deformação), ou seja, não se atinge o escoamento do material;
  • pequenas deflexões (linearização geométrica válida);
  • flambagem como modo de instabilidade dominante (não esmagamento plástico);
  • esbeltez suficiente para que a flambagem elástica ocorra antes do escoamento plástico.
    A condição prática é que a tensão crítica por flambagem seja menor que a tensão de escoamento \sigma_{y}. Assim, Euler é aplicável quando
\sigma_{cr}<\sigma_{y}.
Substituindo \sigma_{cr}=\dfrac{\pi^{2}E}{\lambda^{2}} e igualando para achar a esbeltez limite, temos
\frac{\pi^{2}E}{\lambda^{2}}=\sigma_{y}\quad\Rightarrow\quad \lambda_{lim}=\pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_{y}}}.
Portanto, para \lambda>\lambda_{lim} (ou seja, para esbeltez elevada) a flambagem elástica ocorre antes do escoamento e a fórmula de Euler é válida. Se a coluna for curta (baixa esbeltez) então a carga que provoca escoamento pode ser menor que P_{cr} e Euler deixa de ser aplicável.

Passo 5

Interpretação das alternativas com base no que acabamos de ver:
  • a. “baixa esbeltez e grande rigidez” — contradiz o requisito: Euler exige esbeltez elevada, então (a) está errada.
  • b. “a carga crítica é maior que o limite de escoamento” — se P_{cr} (ou \sigma_{cr}) fosse maior que o limite de escoamento, o material escoaria antes de flambar e a teoria de Euler (que assume elasticidade) não valeria; portanto (b) está errada.
  • c. “ocorrem grandes deslocamentos e não linearidades” — Euler assume pequenas deflexões e linearidade; grandes deslocamentos invalidam a derivação linear de Euler, então (c) está errada.
  • d. “a coluna apresenta esbeltez elevada” — exatamente o que exige a teoria (coluna esbelta, flambagem elástica antes do escoamento). Essa é a opção correta.
  • e. “o material trabalha em regime plástico” — Euler é teoria elástica; se o material está em regime plástico, Euler não é aplicável, logo (e) está errada.

Passo 6

Resumo e resposta final: a teoria de Euler é válida quando a coluna é esbelta o suficiente para que a flambagem elástica ocorra antes do escoamento plástico, isto é, exige esbeltez elevada e comportamento elástico/pequenas deformações.

Resposta

d.

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