Questão 1: (11 pontos) Utilizando o critério de Routh, determinar as faixas de valores de k para que o sistema abaixo possua todos os pólos (raízes do polinômio característico) à esquerda do eixo vertical s=-1 :
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{3 s^{2}+4 k s+13}{2 s^{3}+7 s^{2}+\left(6+5 k-k^{2}\right) s-2 k^{2}+10 k-3}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{3 s^{2}+4 k s+13}{2 s^{3}+7 s^{2}+\left(6+5 k-k^{2}\right) s-2 k^{2}+10 k-3}
e pede: determinar os valores de k tais que todos os pólos (as raízes do polinômio característico, isto é, do denominador) estejam à esquerda da reta vertical s=-1.\n
Informações relevantes fornecidas:
D(s)=2 s^{3}+7 s^{2}+\bigl(6+5k-k^{2}\bigr)s+\bigl(-2k^{2}+10k-3\bigr).
Queremos encontrar a faixa de k para a qual todas as raízes de D(s) satisfazem \operatorname{Re}(s)<-1.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): para exigir que todas as raízes de D(s) tenham parte real menor que -1, aplicamos a mudança de variável que desloca o eixo: façamos
s=z-1,
pois então \operatorname{Re}(s)<-1 equivale a \operatorname{Re}(z)<0. Assim basta verificar estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) do polinômio obtido em z ao substituir s=z-1. Vou desenvolver a substituição e depois usar o critério de Routh (que testa se todas as raízes têm parte real negativa) aplicado ao polinômio em z.
Agora faço a substituição com cuidado e explico cada conta.

Passo 3

Calcular D(z-1). Primeiro expando potências:
s=z-1,\qquad s^{2}=(z-1)^{2}=z^{2}-2z+1,\qquad s^{3}=(z-1)^{3}=z^{3}-3z^{2}+3z-1.
Substituindo em D(s):
\begin{aligned} D(z-1)&=2(z^{3}-3z^{2}+3z-1)+7(z^{2}-2z+1)\\\ &\quad +\bigl(6+5k-k^{2}\bigr)(z-1)+\bigl(-2k^{2}+10k-3\bigr). \end{aligned}
Agora somo termo a termo. Coeficiente de z^{3}:
2.
Coeficiente de z^{2}:
-6+7=1.
Coeficiente de z:
6-14+(6+5k-k^{2})=( -8)+(6+5k-k^{2})=-k^{2}+5k-2.
Termo constante:
-2+7-(6+5k-k^{2})+(-2k^{2}+10k-3).
Faço essa soma com calma:
-2+7=5,\quad 5-(6+5k-k^{2})=5-6-5k+k^{2}=-1-5k+k^{2},
e então
-1-5k+k^{2}+(-2k^{2}+10k-3)=(-k^{2}+5k-4).
Logo o polinômio transformado é
P(z)=2z^{3}+z^{2}+\bigl(-k^{2}+5k-2\bigr)z+\bigl(-k^{2}+5k-4\bigr).
Para facilitar, defino
a_{3}=2,\quad a_{2}=1,\quad a_{1}=-k^{2}+5k-2,\quad a_{0}=-k^{2}+5k-4.

Passo 4

Aplicar o critério de Routh para o polinômio cúbico 2z^{3}+1z^{2}+a_{1}z+a_{0}. Vou lembrar e explicar o que é o critério de Routh para cúbicos: escrevemos a primeira coluna do array de Routh e exigimos que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos (para estabilidade). A forma padrão para cúbico é:
linha z^{3}: a_{3}\quad a_{1}
linha z^{2}: a_{2}\quad a_{0}
linha z^{1}: b_{1}\quad 0 com
b_{1}=\frac{a_{2}a_{1}-a_{3}a_{0}}{a_{2}},
linha z^{0}: a_{0}.
Condição de estabilidade (todas as raízes com \operatorname{Re}(z)<0) para cúbico: a_{3}>0,\; a_{2}>0,\; b_{1}>0,\; a_{0}>0. Vou aplicar isso ao nosso caso.
Aqui a_{3}=2>0 e a_{2}=1>0 já satisfazem. Precisamos das duas desigualdades:
a_{1}>0,\qquad a_{0}>0,
e
b_{1}>0,
onde, com a_{2}=1,
b_{1}=a_{1}-2a_{0}.
Calculo b_{1} explicitamente:
b_{1}=(-k^{2}+5k-2)-2(-k^{2}+5k-4).
Faço as contas:
b_{1}=-k^{2}+5k-2+2k^{2}-10k+8=k^{2}-5k+6.
Portanto as três desigualdades que faltam são:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad a_{0}=-k^{2}+5k-4>0,\\\ &\text{(ii)}\quad a_{1}=-k^{2}+5k-2>0,\\\ &\text{(iii)}\quad b_{1}=k^{2}-5k+6>0. \end{aligned}

Passo 5

Resolver cada desigualdade, com explicação de cada passo.
(i) a_{0}>0:
-k^{2}+5k-4>0\quad\Longleftrightarrow\quad k^{2}-5k+4<0.
Fatorando:
k^{2}-5k+4=(k-1)(k-4).
Uma parábola para cima é negativa entre as raízes, então
1<k<4.
(ii) a_{1}>0:
-k^{2}+5k-2>0\quad\Longleftrightarrow\quad k^{2}-5k+2<0.
As raízes dessa quadrática são
k=\frac{5\pm\sqrt{25-8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}.
Portanto k^{2}-5k+2<0 para
\frac{5-\sqrt{17}}{2}<k<\frac{5+\sqrt{17}}{2}.
Numericamente isso é aproximadamente 0{,}438<k<4{,}562. Interseção com (i) dará depois.
(iii) b_{1}>0:
k^{2}-5k+6>0.
Fatorando:
k^{2}-5k+6=(k-2)(k-3).
Esta expressão é positiva fora do intervalo entre as raízes, logo
k<2\quad\text{ou}\quad k>3.

Passo 6

Agora faço a interseção das três condições simultâneas. Já vimos a_{3}>0 e a_{2}>0 são verdadeiras sempre. Precisamos de (i), (ii) e (iii) ao mesmo tempo.
Da (i) temos 1<k<4.
Da (ii) temos aproximadamente 0{,}438<k<4{,}562; intersectando com (i) fica novamente 1<k<4 (pois (1,4) está contido em \bigl(\tfrac{5-\sqrt{17}}{2},\tfrac{5+\sqrt{17}}{2}\bigr)).
Agora intersecto com (iii): dentro do intervalo 1<k<4, a condição k<2 ou k>3 dá duas subfaixas:
1<k<2\quad\text{ou}\quad 3<k<4.
Portanto as desigualdades simultâneas implicam que os valores admissíveis de k são exatamente
1<k<2\quad\text{ou}\quad 3<k<4,
com as desigualdades estritas porque queremos que todas as raízes fiquem estritamente com \operatorname{Re}(s)<-1 (casos iguais zerariam elementos do array e dariam fronteira/marginalidade).

Resposta

1<k<2 ou 3<k<4

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