Questão 1: (11 pontos) Utilizando o critério de Routh, determinar as faixas de valores de
para que o sistema abaixo possua todos os pólos (raízes do polinômio característico) à esquerda do eixo vertical
:
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede: determinar os valores de
tais que todos os pólos (as raízes do polinômio característico, isto é, do denominador) estejam à esquerda da reta vertical
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Queremos encontrar a faixa de
para a qual todas as raízes de
satisfazem
.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): para exigir que todas as raízes de
tenham parte real menor que
, aplicamos a mudança de variável que desloca o eixo: façamos
pois então
equivale a
. Assim basta verificar estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) do polinômio obtido em
ao substituir
. Vou desenvolver a substituição e depois usar o critério de Routh (que testa se todas as raízes têm parte real negativa) aplicado ao polinômio em
.
Agora faço a substituição com cuidado e explico cada conta.
Passo 3
Calcular
. Primeiro expando potências:
Substituindo em
:
Agora somo termo a termo. Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Faço essa soma com calma:
e então
Logo o polinômio transformado é
Para facilitar, defino
Passo 4
Aplicar o critério de Routh para o polinômio cúbico
. Vou lembrar e explicar o que é o critério de Routh para cúbicos: escrevemos a primeira coluna do array de Routh e exigimos que todos os elementos da primeira coluna sejam positivos (para estabilidade). A forma padrão para cúbico é:
linha
:
linha :
linha :
com
linha
linha
linha
:
.
Condição de estabilidade (todas as raízes com
) para cúbico:
. Vou aplicar isso ao nosso caso.
Aqui
e
já satisfazem. Precisamos das duas desigualdades:
e
onde, com
,
Calculo
explicitamente:
Faço as contas:
Portanto as três desigualdades que faltam são:
Passo 5
Resolver cada desigualdade, com explicação de cada passo.
(i)
:
Fatorando:
Uma parábola para cima é negativa entre as raízes, então
(ii)
:
As raízes dessa quadrática são
Portanto
para
Numericamente isso é aproximadamente
. Interseção com (i) dará depois.
(iii)
:
Fatorando:
Esta expressão é positiva fora do intervalo entre as raízes, logo
Passo 6
Agora faço a interseção das três condições simultâneas. Já vimos
e
são verdadeiras sempre. Precisamos de (i), (ii) e (iii) ao mesmo tempo.
Da (i) temos
.
Da (ii) temos aproximadamente
; intersectando com (i) fica novamente
(pois
está contido em
).
Agora intersecto com (iii): dentro do intervalo
, a condição
ou
dá duas subfaixas:
Portanto as desigualdades simultâneas implicam que os valores admissíveis de
são exatamente
com as desigualdades estritas porque queremos que todas as raízes fiquem estritamente com
(casos iguais zerariam elementos do array e dariam fronteira/marginalidade).