Se nos terminais de uma bateria recarregável tiver uma ddp de 10 volts ela atua como gerador fornecendo uma corrente de 2 A , se a ddp for de 15 volts ela atua como receptor e a corrente que circula por ela passa a ser de 3 A. Calcule o valor de E, r e o rendimento quando ela atua como receptor.

Passo 1

O enunciado descreve uma bateria com fem interna E e resistência interna r. Quando ela fornece corrente (\emph{modo gerador}), a ddp nos terminais é de 10\,\mathrm{V} com corrente de 2\,\mathrm{A}. Quando ela é recarregada (\emph{modo receptor}), a ddp nos terminais sobe para 15\,\mathrm{V} e a corrente que entra é de 3\,\mathrm{A}. Vamos usar o modelo elétrico da bateria (KVL) para obter duas equações em E e r e depois calcular o rendimento no modo receptor.

Passo 2

No modo gerador a equação de KVL diz que a fem interna menos a queda em r é a tensão terminal. Logo,
E - i_1\,r = V_1.
Substituindo i_1=2\,\mathrm{A} e V_1=10\,\mathrm{V}, obtemos
E - 2\,r = 10.

Passo 3

No modo receptor (carga) a tensão aplicada nos terminais supera a fem, e o modelo dá
E + i_2\,r = V_2.
Com i_2=3\,\mathrm{A} e V_2=15\,\mathrm{V}, resulta
E + 3\,r = 15.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} E - 2\,r = 10,\\\ E + 3\,r = 15, \end{cases}
subtraindo a primeira da segunda vem 5\,r=5, ou seja r=1\,\Omega. Então E=10+2\cdot1=12\,\mathrm{V}.

Passo 5

No modo receptor a potência entregue ao carregador é
P_{\text{in}} = V_2\,i_2 = 15\cdot3 = 45\,\mathrm{W},
dessa potência uma parte aquece r P_{\text{loss}}=i_2^2r=9\cdot1=9\,\mathrm{W} e o restante vai para a reação química:
P_{\text{útil}} = P_{\text{in}} - P_{\text{loss}} = 45 - 9 = 36\,\mathrm{W}.ú
O rendimento é
\eta = \frac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{in}}} = \frac{36}{45} = 0{,}8 = 80\%.ú

Resposta

E = 12\,\mathrm{V} r = 1\,\Omega
Rendimento no modo receptor: 80\%.

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