Descreva como ajustar os dados experimentais (tempo e temperatura) de um resfriamento e um aquecimento de uma placa de alumínio com dimensões 5,5 \mathrm{~cm} \times 3,3 \mathrm{~cm} \times 0,5 \mathrm{~cm} por meio da equação:
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}=e^{-\frac{h A}{\rho C_{p} v} t}

Passo 1

O objetivo é estimar experimentalmente o coeficiente de transferência de calor por convecção h ajustando os dados de temperatura T(t) medidos em função do tempo para uma placa de alumínio que parte de uma temperatura inicial T_{0} e troca calor com o ambiente à temperatura T_{\infty}. O modelo teórico é
\frac{T(t)-T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}} = \exp\!\biggl(-\frac{h\,A}{\rho\,C_{p}\,V}\,t\biggr),
onde precisamos conhecer a área externa A, o volume V, a densidade \rho e o calor específico C_{p} do alumínio, além de coletar T(t) versus t.

Passo 2

Convertendo as dimensões da placa para o SI e calculando A e V:
L = 5{,}5\text{ cm} = 0{,}055\text{ m},\quad W = 3{,}3\text{ cm} = 0{,}033\text{ m},\quad e = 0{,}5\text{ cm} = 0{,}005\text{ m}.
A área total de troca com o meio é
A = 2\bigl(LW + L\,e + W\,e\bigr) = 2\bigl(0{,}055\cdot0{,}033 + 0{,}055\cdot0{,}005 + 0{,}033\cdot0{,}005\bigr) = 0{,}00451\\ \mathrm{m}^2,
e o volume é
V = L\,W\,e = 0{,}055\cdot0{,}033\cdot0{,}005 = 9{,}075\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3.
Use ainda \rho_{\text{Al}} \approx 2700\\ \mathrm{kg/m^3} e C_{p,\text{Al}}\approx 900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 3

Defina para cada medida \bigl(t_i,T_i\bigr) o valor normalizado
Y_i = \ln\!\biggl(\frac{T_i - T_{\infty}}{T_{0}-T_{\infty}}\biggr).
Pelo modelo, deve ocorrer
Y_i = -\frac{h\,A}{\rho\,C_{p}\,V}\;t_i.
Ou seja, Y_i versus t_i é uma reta que passa pela origem com declive
m = -\frac{h\,A}{\rho\,C_{p}\,V}.

Passo 4

Ajuste linear (mínimos quadrados) de Y_i versus t_i. Seja
\bar t = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N t_i,\quad \bar Y = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N Y_i,
então o declive estimado é
m = \frac{\sum_{i=1}^N (t_i - \bar t)(Y_i - \bar Y)} {\sum_{i=1}^N (t_i - \bar t)^2}.

Passo 5

A partir do declive m calcula-se o coeficiente h isolando-o:
h = -\,m\;\frac{\rho\,C_{p}\,V}{A}.
Este é o valor ajustado de h. Se quiser, repita o procedimento separadamente para o percurso de resfriamento e para o de aquecimento, usando T_0 e T_{\infty} adequados em cada caso.

Resposta

Ajuste uma reta em \bigl(t_i,\;Y_i=\ln\bigl[(T_i-T_{\infty})/(T_{0}-T_{\infty})\bigr]\bigr) por mínimos quadrados. O declive m obtido satisfaz
m = -\,\frac{h\,A}{\rho\,C_{p}\,V},
logo
h = -\,m\,\frac{\rho\,C_{p}\,V}{A}.

Exercícios relacionados