Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1). a_{n}=\frac{a^{n}}{n!}, para a \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado dá a sequência a_{n}=\frac{a^{n}}{n!} e pede:
– o termo de ordem n (já está dado),
– o termo de ordem n+1,
– verificar convergência e, se convergir, encontrar o limite.
O conteúdo aqui é convergência de sequências reais, usando principalmente o teste da razão e o fato de que n! cresce mais rápido que a^n.
Passo 2
O termo geral de ordem n é
a_{n} = \frac{a^{n}}{n!}.
Para obter o termo de ordem n+1, basta substituir n por n+1 na expressão acima.
Passo 3
O termo de ordem n+1 fica
a_{n+1} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}.
Passo 4
Aplicamos o teste da razão para estudar convergência. Calculamos