Dê o termo de ordem n das sequências abaixo e verifique quais sequências convergem. As convergentes, dê o limite. Escreva também o termo de ordem (n+1).
a_{n}=\frac{a^{n}}{n!}, para a \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\frac{a^{n}}{n!} e pede:
– o termo de ordem n (já está dado),
– o termo de ordem n+1,
– verificar convergência e, se convergir, encontrar o limite.
O conteúdo aqui é convergência de sequências reais, usando principalmente o teste da razão e o fato de que n! cresce mais rápido que a^n.

Passo 2

O termo geral de ordem n é
a_{n} = \frac{a^{n}}{n!}.
Para obter o termo de ordem n+1, basta substituir n por n+1 na expressão acima.

Passo 3

O termo de ordem n+1 fica
a_{n+1} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}.

Passo 4

Aplicamos o teste da razão para estudar convergência. Calculamos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \frac{\bigl|a^{n+1}/(n+1)!\bigr|}{\bigl|a^{n}/n!\bigr|} = \frac{|a|}{n+1}.
Como \frac{|a|}{n+1}\to 0 < 1 quando n\to\infty, a sequência \{a_n\} converge.

Passo 5

Além do teste da razão, sabemos que n! cresce muito mais rápido que a^n. Portanto
\lim_{n\to\infty}a_n = \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!} = 0.

Resposta

a_n = \frac{a^n}{n!}, a_{n+1} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}.
A sequência converge para 0 para todo a\in\mathbb{R}.

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