Classifique as afirmações abaixo como verdadeira (V) ou falsa (F) dando uma demonstração ou um contraexemplo.
( ) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} divergem, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) diverge;

Passo 1

O enunciado pergunta se sempre que \sum_{n=1}^{\infty}a_n e \sum_{n=1}^{\infty}b_n divergem, então necessariamente \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n) diverge. Vamos usar séries simples para dar um contraexemplo.

Passo 2

Defina
a_n = 1,\quad b_n = -1
para todo n\ge1.

Passo 3

As somas parciais de \sum a_n e de \sum b_n são
S_N(a)=\sum_{n=1}^N a_n = \sum_{n=1}^N 1 = N\to +\infty,
S_N(b)=\sum_{n=1}^N b_n = \sum_{n=1}^N (-1) = -N\to -\infty.
Logo, ambas as séries divergem (uma para +\infty e outra para -\infty).

Passo 4

Agora, note que
a_n + b_n = 1 + (-1) = 0
para todo n. Assim as somas parciais de \sum(a_n+b_n) são
S_N(a+b)=\sum_{n=1}^N (a_n+b_n)=\sum_{n=1}^N 0 = 0,
isto é, a série converge (para zero).

Resposta

(F)

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