1. Um termômetro digital apresenta leituras de 24,8^{\circ} \mathrm{C}, 24,9^{\circ} \mathrm{C}, 25,1^{\circ} \mathrm{C}, 25,0^{\circ} \mathrm{C} e 24,9^{\circ} \mathrm{C} para uma temperatura real de 25,0^{\circ} \mathrm{C}. Calcule o erro médio e o desvio padrão das medições.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes leituras do termômetro: 24,8^\circ\mathrm{C}, 24,9^\circ\mathrm{C}, 25,1^\circ\mathrm{C}, 25,0^\circ\mathrm{C} e 24,9^\circ\mathrm{C}. A temperatura real (valor verdadeiro) é 25,0^\circ\mathrm{C}.
As perguntas são: calcular o erro médio das medições e o desvio padrão das medições.
Lista de informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\text{Medições: } x_1=24,8^\circ\mathrm{C},\; x_2=24,9^\circ\mathrm{C},\; x_3=25,1^\circ\mathrm{C},\; x_4=25,0^\circ\mathrm{C},\; x_5=24,9^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Valor verdadeiro: } T=25,0^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Número de medições: } n=5. \end{aligned}çõúçõ

Passo 2

Vamos definir o que é “erro” de cada medição. Para cada leitura x_i o erro é a diferença entre a leitura e o valor verdadeiro:
e_i = x_i - T.
Isso pode ser positivo (leitura acima do real) ou negativo (leitura abaixo do real). Agora calculo cada erro usando os valores dados:
\begin{aligned} e_1 &= 24,8 - 25,0 = -0,2^\circ\mathrm{C},\\\ e_2 &= 24,9 - 25,0 = -0,1^\circ\mathrm{C},\\\ e_3 &= 25,1 - 25,0 = +0,1^\circ\mathrm{C},\\\ e_4 &= 25,0 - 25,0 = 0,0^\circ\mathrm{C},\\\ e_5 &= 24,9 - 25,0 = -0,1^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}

Passo 3

Agora definimos o “erro médio” (às vezes chamado de viés médio) como a média aritmética dos erros:
\bar{e} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} e_i.
Explicando a fórmula: somamos todos os erros e_i e dividimos pelo número total de medições n. Isso nos dá em média quanto as leituras estão desviadas do valor verdadeiro (com sinal).

Passo 4

Calculo do erro médio com os erros do Passo 2:
\begin{aligned} \bar{e} &= \frac{-0,2 + (-0,1) + 0,1 + 0,0 + (-0,1)}{5} \\\ &= \frac{-0,3}{5} = -0,06^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}
Interpretação rápida: o erro médio é -0,06^\circ\mathrm{C}, ou seja, em média o termômetro lê 0,06^\circ\mathrm{C} abaixo do valor real (pequeno viés para baixo).

Passo 5

Para calcular o desvio padrão precisamos de uma definição. O desvio padrão amostral s é a raiz quadrada da variância amostral:
s = \sqrt{s^2},\qquad s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2,
onde \bar{x} é a média das medições:
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Explicação didática: o desvio padrão mede a dispersão das medições em torno da média das medições. Usamos o divisor n-1 (e não n) quando queremos um estimador não tendencioso da variância da população baseado numa amostra — isso é o procedimento padrão em experimentos com medições repetidas.

Passo 6

Calculo da média das medições \bar{x}:
\bar{x} = \frac{24,8 + 24,9 + 25,1 + 25,0 + 24,9}{5} = \frac{124,7}{5} = 24,94^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Agora calculo as diferenças (x_i - \bar{x}) e seus quadrados. Faça sempre calma conta por conta para não errar:
\begin{aligned} x_1-\bar{x} &= 24,8 - 24,94 = -0,14 &\Rightarrow&\quad (x_1-\bar{x})^2 = 0,0196,\\\ x_2-\bar{x} &= 24,9 - 24,94 = -0,04 &\Rightarrow&\quad (x_2-\bar{x})^2 = 0,0016,\\\ x_3-\bar{x} &= 25,1 - 24,94 = +0,16 &\Rightarrow&\quad (x_3-\bar{x})^2 = 0,0256,\\\ x_4-\bar{x} &= 25,0 - 24,94 = +0,06 &\Rightarrow&\quad (x_4-\bar{x})^2 = 0,0036,\\\ x_5-\bar{x} &= 24,9 - 24,94 = -0,04 &\Rightarrow&\quad (x_5-\bar{x})^2 = 0,0016. \end{aligned}
Somando os quadrados:
\sum_{i=1}^{5} (x_i-\bar{x})^2 = 0,0196 + 0,0016 + 0,0256 + 0,0036 + 0,0016 = 0,0520.

Passo 8

Calculo da variância amostral s^2 e do desvio padrão s:
s^2 = \frac{0,0520}{n-1} = \frac{0,0520}{4} = 0,0130,
s = \sqrt{0,0130} \approx 0,114^\circ\mathrm{C}.
Observação: se alguém usasse o divisor n=5 (variância populacional), obteria \sqrt{0,0104}\approx 0,102^\circ\mathrm{C}. Escolhemos a definição amostral (divisor n-1) porque estamos estimando a variabilidade a partir de uma amostra de medições repetidas.

Passo 9

Arredondamentos e interpretação final: o erro médio fica -0,06^\circ\mathrm{C} (mostra pequeno viés para baixo) e o desvio padrão das medições é cerca de 0,11^\circ\mathrm{C} se arredondarmos para duas casas decimais (valor exato aproximado 0,114^\circ\mathrm{C}).

Resposta

Erro médio: -0,06^\circ\mathrm{C}
Desvio padrão: 0,11^\circ\mathrm{C}

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