A Terra tem a forma aproximada de uma esfera de raio igual a 6 megâmetros. Sua densidade média é aproximadamente
yottagrama por megâmetro cúbico. Sabemos que a aceleração da gravidade
na superfície de um planeta se relaciona com sua massa
em yottagrama e seu raio
em megâmetro pela relação:
. Em uma realidade alternativa, a Terra possui a mesma densidade média, o mesmo raio, mas é oca, formada por uma casca de 1 megâmetro de espessura. Qual o valor aproximado da aceleração da gravidade na superfície da Terra nessa realidade alternativa?
Dados: volume de uma esfera
a)
b)
c)
d)
Dados: volume de uma esfera
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado descreve uma Terra esférica de raio externo
Mm e densidade média constante. Na realidade alternativa a Terra é oca, com casca de espessura
Mm, ou seja, raio interno
Mm. Queremos a gravidade na superfície, sabendo que
onde
é a massa da Terra em Yg e
em Mm.
Passo 2
Usando a aproximação do enunciado para o volume de uma esfera,
o volume externo vale
e o volume interno
Logo, o volume da casca é
Passo 3
Como a densidade é a mesma, a massa da casca
relaciona-se com a massa da esfera cheia
por
Passo 4
A gravidade na casca é proporcional à massa da casca, isto é,
Usando
,m/s
, temos
ou seja, aproximadamente
,m/s
.
Resposta
(c)
m/s