A Terra tem a forma aproximada de uma esfera de raio igual a 6 megâmetros. Sua densidade média é aproximadamente \frac{600}{91} yottagrama por megâmetro cúbico. Sabemos que a aceleração da gravidade \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2} na superfície de um planeta se relaciona com sua massa M em yottagrama e seu raio R em megâmetro pela relação: \mathrm{g} \cong \frac{0,06 \cdot M}{R^{2}}. Em uma realidade alternativa, a Terra possui a mesma densidade média, o mesmo raio, mas é oca, formada por uma casca de 1 megâmetro de espessura. Qual o valor aproximado da aceleração da gravidade na superfície da Terra nessa realidade alternativa?
Dados: volume de uma esfera \cong 4 R^{3}
a) 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
b) 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
c) 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
d) 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

O enunciado descreve uma Terra esférica de raio externo R=6 Mm e densidade média constante. Na realidade alternativa a Terra é oca, com casca de espessura 1 Mm, ou seja, raio interno r=5 Mm. Queremos a gravidade na superfície, sabendo que
g\approx\frac{0,06\,M}{R^{2}},
onde M é a massa da Terra em Yg e R em Mm.

Passo 2

Usando a aproximação do enunciado para o volume de uma esfera,
V\approx 4\,R^{3},
o volume externo vale
V_{\text{ext}}=4\,(6)^{3}=4\cdot216=864\quad(\text{Mm}^3)
e o volume interno
V_{\text{int}}=4\,(5)^{3}=4\cdot125=500\quad(\text{Mm}^3).
Logo, o volume da casca é
V_{\text{casca}}=V_{\text{ext}}-V_{\text{int}}=864-500=364\quad(\text{Mm}^3).

Passo 3

Como a densidade é a mesma, a massa da casca M_{\text{casca}} relaciona-se com a massa da esfera cheia M_{\text{cheia}} por
\frac{M_{\text{casca}}}{M_{\text{cheia}}} =\frac{V_{\text{casca}}}{V_{\text{ext}}} =\frac{364}{864}\approx0,4213.

Passo 4

A gravidade na casca é proporcional à massa da casca, isto é,
g_{\text{casca}} =\frac{0,06\,M_{\text{casca}}}{R^{2}} =\frac{M_{\text{casca}}}{M_{\text{cheia}}}\; \frac{0,06\,M_{\text{cheia}}}{R^{2}} =\frac{364}{864}\;g_{\text{cheia}}.
Usando g_{\text{cheia}}\approx9,8,m/s ^2, temos
g_{\text{casca}}\approx0,4213\times9,8\approx4,13\;\text{m/s}^2,
ou seja, aproximadamente 4,m/s ^2.

Resposta

(c) 4 m/s ^2

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