Para testar as hipóteses
H_{0}: \mu=75 \quad \text { contra } \quad H_{a}: \mu>75
foram obtidos os seguintes resultados amostrais: tamanho da amostra n=61, média amostral \bar{x}=77,04 e desvio padrão amostral s=6,80.
(a) Especifique a estatística de teste e determine a região de rejeição para o nível de significância \alpha=0,05.
(b) Calcule o valor da estatística de teste e estabeleça a conclusão do teste ao nível de significância \alpha=0,05.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido (peguei todos os números do enunciado).
  • Hipóteses: H_{0}: \mu=75\quad\text{vs}\quad H_{a}: \mu>75.
  • Dados amostrais: n=61,\qquad \bar{x}=77{,}04,\qquad s=6{,}80.
  • Nível de significância: \alpha=0{,}05.
  • O enunciado pede:
    (a) especificar a estatística de teste e determinar a região de rejeição para \alpha=0{,}05;
    (b) calcular o valor da estatística de teste e decidir — ao nível \alpha=0{,}05 — se rejeitamos ou não H_{0}.

Passo 2

Escolha do teste e estatística de teste (fórmula e interpretação das variáveis).
Como a variância populacional é desconhecida (foi dado apenas s, o desvio padrão amostral) e a amostra é razoavelmente grande, usamos o teste t de Student para a média. A estatística de teste é
T=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\,s/\sqrt{n}\,},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=77{,}04);
  • \mu_{0} é o valor da média segundo H_{0} (aqui \mu_{0}=75);
  • s é o desvio padrão amostral (aqui s=6{,}80);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=61);
  • Sob H_{0}, T segue aproximadamente a distribuição t com n-1 graus de liberdade, isto é, T\sim t_{60}.
Como a hipótese alternativa é unidirecional \mu>75, a região de rejeição será do tipo “cauda direita”: rejeitamos H_{0} se T for maior que o quantil crítico t_{1-\alpha,\;60} (o ponto tal que \Pr(T>t_{1-\alpha,60})=\alpha).

Passo 3

Determinar o valor crítico (região de rejeição) para \alpha=0{,}05.
Procurando na tabela da distribuição t (ou usando software) para df=60 e nível unilaterial \alpha=0{,}05, obtemos o valor crítico
t_{1-\alpha,\;60}=t_{0{,}95,\;60}\approx 1{,}671.
Portanto a região de rejeição (RR) é
\text{RR}=\{T: T>1{,}671\}.

Passo 4

Cálculo da estatística de teste numérica (passo a passo, sem pular contas).
Primeiro calcule o denominador s/\sqrt{n}:
\sqrt{n}=\sqrt{61}\approx 7{,}810249676,
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{6{,}80}{\sqrt{61}}\approx \frac{6{,}80}{7{,}810249676}\approx 0{,}8709.
Agora a diferença no numerador:
\bar{x}-\mu_{0}=77{,}04-75=2{,}04.
Logo a estatística de teste é
T=\frac{2{,}04}{0{,}8709}\approx 2{,}343.
(Arredondei para três casas decimais; se preferir duas casas: T\approx 2{,}34.)

Passo 5

Comparação com a região crítica e conclusão do teste.
  • Valor crítico: \,t_{0{,}95,60}\approx 1{,}671.
  • Estatística calculada: \,T\approx 2{,}343.
Como \,T\approx 2{,}343>1{,}671, o valor da estatística cai na região de rejeição. Portanto rejeitamos H_{0} ao nível de significância \alpha=0{,}05.
Interpretação em palavras (curta e direta): há evidência amostral suficiente, ao nível 5\%, para concluir que a média verdadeira \mu é maior que 75.
(Opcional — p-valor aproximado) Para referência, o p-valor unilateral associado a T\approx 2{,}343 com 60 graus de liberdade é aproximadamente p\approx 0{,}01 (mais precisamente perto de 0{,}011), que é menor que \alpha=0{,}05, compatível com a rejeição de H_{0}.

Resposta

(a) Estatística de teste: \displaystyle T=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{\,s/\sqrt{n}\,}. Região de rejeição (unilateral à direita) para \alpha=0{,}05: \{T: T>t_{0{,}95,60}\} com t_{0{,}95,60}\approx 1{,}671.
(b) Estatística calculada: T\approx 2{,}343. Conclusão: rejeita-se H_{0} ao nível \alpha=0{,}05 (há evidência de que \mu>75).

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