Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica é igual a 26 mg por cigarro. Um laboratório realiza 6 análises desse índice, obtendo os seguintes valores (em mg):
Sabe-se que o índice de nicotina segue uma distribuição Normal. Pede-se: ao nível de significância de 10%, a afirmação do fabricante pode ser considerada verdadeira? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Amostra com
observações do índice de nicotina (em mg):
- Afirmação do fabricante: índice médio igual a
mg por cigarro. - Suposição: o índice segue distribuição Normal.
- Nível de significância:
.
O que o enunciado pede:
- Verificar, ao nível de significância de
, se a afirmação do fabricante pode ser considerada verdadeira, ou seja, se os dados são compatíveis com média igual a mg.
Passo 2
Formulamos as hipóteses do teste (como o fabricante afirma igualdade, usamos teste bilateral):
Explicação curta:
é a hipótese de que a média verdadeira é
;
é a alternativa de que a média é diferente de
. Como o enunciado pede verificar a afirmação de igualdade, o teste deve ser bilateral.
Passo 3
Escolha do procedimento de teste:
- A população é Normal (dado).
- A variância populacional é desconhecida.
- A amostra é pequena (
).
Nessas condições usa-se o teste t de Student para a média. A estatística de teste é
onde:
-
é a média amostral, -
é o valor da média sob (aqui ), -
é o desvio-padrão amostral (estimador de ), -
é o tamanho da amostra.
O número de graus de liberdade é
Passo 4
Calcular a média amostral
.
Soma das observações:
Soma das observações:
Portanto
Passo 5
Calcular a variância amostral
e o desvio-padrão
.
Primeiro as diferenças
e seus quadrados (apresento com 4 casas para clareza):
Soma dos quadrados das diferenças:
Variância amostral (com divisor
):
Desvio-padrão amostral:
Passo 6
Calcular a estatística
.
Primeiro o erro padrão da média:
Primeiro o erro padrão da média:
Diferença entre média amostral e valor sob
:
Logo
Valor absoluto:
Passo 7
Regra de decisão e conclusão numérica.
Graus de liberdade:
Para um teste bilateral com
, cada cauda tem
. O valor crítico da t de Student é
Regra: rejeitar
se
.
Comparação:
portanto não rejeitamos
ao nível de
.
Cálculo aproximado do p-valor (para interpretação): para
com
, o p-valor bilateral é aproximadamente
o que é maior que
, confirmando a decisão de não rejeitar
.
Interpretação em linguagem corrente: não há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para concluir que a média verdadeira difere de
mg. Os dados são compatíveis com a afirmação do fabricante.
Passo 8
Comentário final e incentivo: a amostra é pequena e a variação observada é relativa- mente moderada. Isso significa que com mais dados poderíamos ter uma conclusão mais firme; por enquanto, com apenas 6 medições, não encontramos evidência forte contra a média anunciada. Mantém a calma — a resposta é que os dados não contradizem a afirmação do fabricante ao nível de
.
Resposta
Não rejeita-se
; ao nível de significância de
os dados são compatíveis com média igual a
mg (p-valor aproximado
).