Uma companhia de cigarros anuncia que o índice médio de nicotina dos cigarros que fabrica é igual a 26 mg por cigarro. Um laboratório realiza 6 análises desse índice, obtendo os seguintes valores (em mg):
27,24,21,25,26,22 .
Sabe-se que o índice de nicotina segue uma distribuição Normal. Pede-se: ao nível de significância de 10%, a afirmação do fabricante pode ser considerada verdadeira? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Amostra com n=6 observações do índice de nicotina (em mg):
    \;27,\,24,\,21,\,25,\,26,\,22.
  • Afirmação do fabricante: índice médio igual a 26 mg por cigarro.
  • Suposição: o índice segue distribuição Normal.
  • Nível de significância: \alpha=0,10.
O que o enunciado pede:
  • Verificar, ao nível de significância de 10\%, se a afirmação do fabricante pode ser considerada verdadeira, ou seja, se os dados são compatíveis com média igual a 26 mg.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (como o fabricante afirma igualdade, usamos teste bilateral):
H_0:\\ \mu = 26
H_1:\\ \mu \neq 26
Explicação curta: H_0 é a hipótese de que a média verdadeira é 26; H_1 é a alternativa de que a média é diferente de 26. Como o enunciado pede verificar a afirmação de igualdade, o teste deve ser bilateral.

Passo 3

Escolha do procedimento de teste:
  • A população é Normal (dado).
  • A variância populacional é desconhecida.
  • A amostra é pequena ( n=6).
Nessas condições usa-se o teste t de Student para a média. A estatística de teste é
t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral,
  • \mu_0 é o valor da média sob H_0 (aqui \mu_0=26),
  • S é o desvio-padrão amostral (estimador de \sigma),
  • n é o tamanho da amostra.
    O número de graus de liberdade é \,n-1.

Passo 4

Calcular a média amostral \bar{X}.
Soma das observações:
27+24+21+25+26+22 = 145.
Portanto
\bar{X}=\frac{145}{6}=24,1667\\ (\text{aproximadamente}).

Passo 5

Calcular a variância amostral S^2 e o desvio-padrão S.
Primeiro as diferenças (x_i-\bar{X}) e seus quadrados (apresento com 4 casas para clareza):
\begin{aligned} 27-\bar{X}&=2,8333,\quad (27-\bar{X})^2=8,0278,\\\\ 24-\bar{X}&=-0,1667,\quad (24-\bar{X})^2=0,0278,\\\\ 21-\bar{X}&=-3,1667,\quad (21-\bar{X})^2=10,0278,\\\\ 25-\bar{X}&=0,8333,\quad (25-\bar{X})^2=0,6944,\\\\ 26-\bar{X}&=1,8333,\quad (26-\bar{X})^2=3,3611,\\\\ 22-\bar{X}&=-2,1667,\quad (22-\bar{X})^2=4,6944. \end{aligned}
Soma dos quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{6}(x_i-\bar{X})^2 \approx 26,8333.
Variância amostral (com divisor n-1):
S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{X})^2=\frac{26,8333}{5}=5,3667\\ (\text{aprox.}).
Desvio-padrão amostral:
S=\sqrt{S^2}=\sqrt{5,3667}\approx 2,3160.

Passo 6

Calcular a estatística t.
Primeiro o erro padrão da média:
\text{EP}=\frac{S}{\sqrt{n}}=\frac{2,3160}{\sqrt{6}}=\frac{2,3160}{2,4495}\approx 0,9453.
Diferença entre média amostral e valor sob H_0:
\bar{X}-\mu_0=24,1667-26=-1,8333.
Logo
t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\text{EP}}=\frac{-1,8333}{0,9453}\approx -1,939.
Valor absoluto:
|t|\approx 1,939.

Passo 7

Regra de decisão e conclusão numérica.
Graus de liberdade:
\nu=n-1=5.
Para um teste bilateral com \alpha=0,10, cada cauda tem \alpha/2=0,05. O valor crítico da t de Student é
t_{(1-\alpha/2,\;\nu)}=t_{0,95,\,5}\approx 2,015.
Regra: rejeitar H_0 se |t|>2,015.
Comparação:
|t|\approx 1,939 < 2,015,
portanto não rejeitamos H_0 ao nível de 10\%.
Cálculo aproximado do p-valor (para interpretação): para |t|=1,939 com \nu=5, o p-valor bilateral é aproximadamente
p\text{-value}\approx 0,11,
o que é maior que \alpha=0,10, confirmando a decisão de não rejeitar H_0.
Interpretação em linguagem corrente: não há evidência estatística suficiente, ao nível de 10\%, para concluir que a média verdadeira difere de 26 mg. Os dados são compatíveis com a afirmação do fabricante.

Passo 8

Comentário final e incentivo: a amostra é pequena e a variação observada é relativa- mente moderada. Isso significa que com mais dados poderíamos ter uma conclusão mais firme; por enquanto, com apenas 6 medições, não encontramos evidência forte contra a média anunciada. Mantém a calma — a resposta é que os dados não contradizem a afirmação do fabricante ao nível de 10\%.

Resposta

Não rejeita-se H_0; ao nível de significância de 10\% os dados são compatíveis com média igual a 26 mg (p-valor aproximado 0,11).

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