Teste cada uma das séries seguintes, verificando se converge ou não:
f) sumn=1^infty 2^n cdot n!(1-cos (n^2))2 cdot 5.8 ldots(3 n-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a série converge ou não. Vamos usar o Teste da Razão, que é um método da análise de séries para determinar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. A gente calcula o limite da razão entre o termo geral e . Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste não é conclusivo. Então, vamos definir .

Passo 3

Agora, vamos montar a razão an+1an = 2^n+1 cdot (n+1)!(1-cos ((n+1)^2))2 cdot 5 cdot 8 ldots(3(n+1)-1) times 2 cdot 5 cdot 8 ldots(3n-1)2^n cdot n!(1-cos (n^2)) :
an+1an = 2 cdot (n+1) cdot 1 - cos((n+1)^2)3(n+1)-1
Simplificando os termos:
= 2 cdot (n+1) cdot 1 - cos(n^2 + 2n +1)3n + 2

Passo 4

Vamos calcular o limite quando L = limn to infty 2 cdot (n+1) cdot 1 - cos(n^2 + 2n +1)3n + 2 :
0 <= 1 - cos(n^2 + 2n +1)3n + 2 <= 23n + 2
Observando que L <= limn to infty 2 cdot (n+1) cdot 23n + 2 = limn to infty 4(n+1)3n + 2 = 43 está sempre entre 0 e 2, então:
Assim:
Como , o limite também será maior que 1.

Resposta

A série diverge.

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