Efetue explicitamente uma reordenação dos termos da série
de
modo que sua soma se torne igual a zero.
modo que sua soma se torne igual a zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita que é assim:
. Nosso objetivo aqui é reorganizar esses termos de um jeito que, quando somados, o resultado dê exatamente zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e como a ordem dos termos pode influenciar a soma total.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série alternada. É uma sequência de termos que alterna sinais positivos e negativos, como a nossa aqui. A série que temos é conhecida como a série harmônica alternada e, na verdade, ela converge para
, que é aproximadamente 0,693.
Passo 3
Agora, a coisa interessante com séries condicionalmente convergentes (como a nossa) é que a ordem dos termos pode mudar o valor da soma. Isso é conhecido como o Teorema de Riemann sobre rearranjos de séries. Ou seja, ao reorganizar os termos, a soma pode ser qualquer número real ou até mesmo divergir.
Passo 4
Nosso objetivo é ajustar essa série para que a soma seja zero. Para fazer isso, precisamos equilibrar a quantidade de termos positivos e negativos de forma que eles se cancelem perfeitamente. Vamos começar escolhendo termos positivos e negativos de maneira que suas somas parciais se aproximem de zero.
Passo 5
Vamos organizar os termos assim: sempre que somarmos um termo positivo, adicionamos um termo negativo que neutralize a soma atual. Por exemplo:
- Começamos com
. - Subtraímos
, ficando com . - Adicionamos
. - Subtraímos
, voltando para . - E assim por diante.
Passo 6
Dessa forma, cada par de termos positivos e negativos se cancela, fazendo com que a soma total permaneça zero. Esse é um método de rearranjo que garante que, a cada etapa, a soma parcial seja zero, levando a soma final também a ser zero.
Resposta
Reorganizando os termos da série de forma que cada termo positivo seja imediatamente cancelado pelo seu correspondente negativo, a soma total fica igual a zero.