Teste 6 Considere Y uma variável aleatória discreta que assume os valores do conjunto C=\{10,20,30,40,50\}. Dado que sua distribuição de probabilidade é de \mathbb{P}[Y=10]=\mathbb{P}[Y=50]=\frac{1}{10}, \mathbb{P}[Y=20]=\mathbb{P}[Y=40]=\frac{2}{10}, \mathbb{P}[Y=30]=\frac{4}{10} e \mathbb{P}=0 fora desse conjunto, a variância de Y é:
A 60 .
B 90 .
C 80 .
120.
E 100.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta Y que assume os valores do conjunto C=\{10,20,30,40,50\} com probabilidades:
\mathbb{P}[Y=10]=\mathbb{P}[Y=50]=\frac{1}{10},\qquad \mathbb{P}[Y=20]=\mathbb{P}[Y=40]=\frac{2}{10},\qquad \mathbb{P}[Y=30]=\frac{4}{10},
e \mathbb{P}=0 fora desse conjunto. O que o enunciado pede é: calcular a variância de Y.

Passo 2

Primeiro precisamos do valor esperado (média) de Y. A definição (fórmula) do valor esperado para variável discreta é
\mathbb{E}[Y]=\sum_{y\in C} y\cdot \mathbb{P}[Y=y],
onde cada termo y\cdot \mathbb{P}[Y=y] contribui para a média ponderada pelos pesos (probabilidades). Vamos calcular cada termo explicitamente:
10\cdot\frac{1}{10}=1,\qquad 20\cdot\frac{2}{10}=4,\qquad 30\cdot\frac{4}{10}=12,
40\cdot\frac{2}{10}=8,\qquad 50\cdot\frac{1}{10}=5.
Somando:
\mathbb{E}[Y]=1+4+12+8+5=30.
Interpretação rápida: a média da distribuição é \mathbb{E}[Y]=30. Calma — isso costuma acontecer com distribuições simétricas como esta.

Passo 3

Para a variância é conveniente calcular \mathbb{E}[Y^2]. A definição é
\mathbb{E}[Y^2]=\sum_{y\in C} y^2\cdot \mathbb{P}[Y=y].
Calculando termo a termo:
10^2\cdot\frac{1}{10}=100\cdot\frac{1}{10}=10, \qquad 20^2\cdot\frac{2}{10}=400\cdot\frac{2}{10}=80,
30^2\cdot\frac{4}{10}=900\cdot\frac{4}{10}=360, \qquad 40^2\cdot\frac{2}{10}=1600\cdot\frac{2}{10}=320,
50^2\cdot\frac{1}{10}=2500\cdot\frac{1}{10}=250.
Agora somando:
\mathbb{E}[Y^2]=10+80+360+320+250=1020.

Passo 4

A variância de Y é dada por
\operatorname{Var}(Y)=\mathbb{E}[Y^2]-(\mathbb{E}[Y])^2.
Substituindo os valores que calculamos:
\operatorname{Var}(Y)=1020-(30)^2=1020-900=120.
Comentário didático: esta fórmula funciona porque \mathbb{E}[Y^2] é a média dos quadrados e (\mathbb{E}[Y])^2 é o quadrado da média; a diferença mede a dispersão média ao quadrado em torno da média.

Passo 5

Checagem rápida (mental): como a média é 30 e os valores vão de 10 a 50, uma variância de 120 faz sentido numericamente. Entre as alternativas dadas, isto corresponde à alternativa que indica 120.

Resposta

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