Teste 5 Um processador de pastas alimentícias produz massa de tomate que é acondicionada em frascos por um dosador automático. A massa de tomate em cada frasco é uma variável aleatória com distribuição normal, sendo a média 100 g e desvio padrão 2 g . O controle de qualidade considera aceitáveis apenas os frascos com massa entre 98 e 106 g . Qual o valor mais próximo da fração de frascos rejeitados pelo controle de qualidade?
A 0,76 .
B 0,09 .
C 0,84 .
D 0,24 .
- 0,16 .
A 0,76 .
B 0,09 .
C 0,84 .
D 0,24 .
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas extraídas do texto do problema):
- A massa de tomate por frasco é uma variável aleatória com distribuição normal de média
g e desvio padrão g. Ou seja,
- O controle aceita frascos com massa entre
g e g, isto é, aceita-se quando . - A pergunta é: qual a fração de frascos rejeitados pelo controle de qualidade? (Rejeitados são os frascos com
ou .)
Passo 2
O que significa “fração de frascos rejeitados”? É a probabilidade de que uma observação da variável aleatória
caia fora do intervalo aceitável. Em símbolos:
Para calcular essas probabilidades com uma normal, usa-se a padronização para a normal padrão. Definimos a variável
onde
é a média e
o desvio padrão. Aqui
e
. A variável
tem distribuição normal padrão
. Usar
permite consultar (ou lembrar) valores da função de distribuição padrão
.
Passo 3
Padronizando os limites do intervalo aceitável:
Assim
Passo 4
Escrever essa probabilidade em termos da função de distribuição acumulada da normal padrão
:
Usando a simetria da normal padrão sabemos que
. Portanto
Passo 5
Agora usamos valores tabelados (valores padrão bem conhecidos):
Substituindo:
Então a fração aceita é aproximadamente
.
Passo 6
A fração rejeitada é o complemento:
Em porcentagem isso é cerca de
.
Passo 7
Resumo prático para a prova: padronize os limites, use valores conhecidos da normal padrão (
,
), calcule a probabilidade do intervalo aceitável e subtraia de
para obter a rejeição. Aqui o resultado numérico final é
.