Teste 5 Um processador de pastas alimentícias produz massa de tomate que é acondicionada em frascos por um dosador automático. A massa de tomate em cada frasco é uma variável aleatória com distribuição normal, sendo a média 100 g e desvio padrão 2 g . O controle de qualidade considera aceitáveis apenas os frascos com massa entre 98 e 106 g . Qual o valor mais próximo da fração de frascos rejeitados pelo controle de qualidade?
A 0,76 .
B 0,09 .
C 0,84 .
D 0,24 .
  • 0,16 .

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas extraídas do texto do problema):
  • A massa de tomate por frasco é uma variável aleatória com distribuição normal de média 100 g e desvio padrão 2 g. Ou seja,
X \sim N(100,2^{2}).
  • O controle aceita frascos com massa entre 98 g e 106 g, isto é, aceita-se quando 98 \le X \le 106.
  • A pergunta é: qual a fração de frascos rejeitados pelo controle de qualidade? (Rejeitados são os frascos com X<98 ou X>106.)

Passo 2

O que significa “fração de frascos rejeitados”? É a probabilidade de que uma observação da variável aleatória X caia fora do intervalo aceitável. Em símbolos:
\text{fração rejeitada} = P(X<98)+P(X>106)=1-P(98\le X\le106).çã
Para calcular essas probabilidades com uma normal, usa-se a padronização para a normal padrão. Definimos a variável
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média e \sigma o desvio padrão. Aqui \mu=100 e \sigma=2. A variável Z tem distribuição normal padrão N(0,1). Usar Z permite consultar (ou lembrar) valores da função de distribuição padrão \Phi.

Passo 3

Padronizando os limites do intervalo aceitável:
z_1=\frac{98-100}{2}=\frac{-2}{2}=-1,
z_2=\frac{106-100}{2}=\frac{6}{2}=3.
Assim
P(98\le X\le106)=P(-1\le Z\le3).

Passo 4

Escrever essa probabilidade em termos da função de distribuição acumulada da normal padrão \Phi:
P(-1\le Z\le3)=\Phi(3)-\Phi(-1).
Usando a simetria da normal padrão sabemos que \Phi(-1)=1-\Phi(1). Portanto
P(-1\le Z\le3)=\Phi(3)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=\Phi(3)+\Phi(1)-1.

Passo 5

Agora usamos valores tabelados (valores padrão bem conhecidos):
\Phi(1)\approx 0{,}8413,\qquad \Phi(3)\approx 0{,}99865.
Substituindo:
P(98\le X\le106)\approx 0{,}99865+0{,}8413-1=0{,}83995\approx 0{,}84.
Então a fração aceita é aproximadamente 0{,}84.

Passo 6

A fração rejeitada é o complemento:
\text{fração rejeitada}=1-0{,}83995\approx 0{,}16005\approx 0{,}16.çã
Em porcentagem isso é cerca de 16\%.

Passo 7

Resumo prático para a prova: padronize os limites, use valores conhecidos da normal padrão ( \Phi(1)\approx0{,}8413, \Phi(3)\approx0{,}99865), calcule a probabilidade do intervalo aceitável e subtraia de 1 para obter a rejeição. Aqui o resultado numérico final é 0{,}16.

Resposta

0{,}16

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