Teste para convergência
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot n^{1 / n}}.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\cdot n^{1/n}}.
Pergunta explícita: a série converge ou diverge?
Informações dadas e observações imediatas:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{1}{n\cdot n^{1/n}}.
  • Todos os termos são positivos para n\ge1.
  • Precisamos decidir se a soma infinita desses termos converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita).

Passo 2

Primeiro vamos escrever o termo de uma forma mais simples para enxergar o comportamento para n grande. Multiplicando potências com mesma base:
n\cdot n^{1/n}=n^{1}\cdot n^{1/n}=n^{1+1/n}.
Portanto o termo geral pode ser escrito como
a_n=\frac{1}{n^{1+1/n}}.
Essa forma deixa claro que o expoente é 1+\tfrac{1}{n}, que tende para 1 quando n\to\infty.

Passo 3

Estratégia de resolução: vamos comparar com a série harmônica \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}, que é um modelo clássico (série que diverge). O teste que usaremos é o Teste da Comparação por Limite (ou limit comparison test). Vou explicar o teste antes de aplicar:
Enunciado do teste (versão que vamos usar): sejam (a_n) e (b_n) sequências positivas. Se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0< L <\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui escolhemos b_n=\dfrac{1}{n} (a série harmônica).

Passo 4

Calculemos a razão \dfrac{a_n}{b_n}:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{1}{n\cdot n^{1/n}}}{\dfrac{1}{n}}=\frac{1}{n^{1/n}}.
Então precisamos avaliar o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/n}}.

Passo 5

Para calcular \lim_{n\to\infty} n^{1/n} usamos logaritmo e exponencial — é um truque padrão e seguro:
n^{1/n}=e^{\ln\!\left(n^{1/n}\right)}=e^{\frac{\ln n}{n}}.
Agora observamos que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0,
pois o log cresce muito mais devagar que n. Logo
\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=e^{0}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{1/n}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 6

Aplicando o Teste da Comparação por Limite: temos b_n=\dfrac{1}{n} e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1,
número positivo e finito. Assim \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento. Como a série harmônica
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}
é conhecida por divergir (por exemplo pelo teste da integral \int_1^\infty \tfrac{1}{x}\,dx=\infty), concluímos que a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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