Teste para convergência
.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Pergunta explícita: a série converge ou diverge?
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- O termo geral é
. - Todos os termos são positivos para
. - Precisamos decidir se a soma infinita desses termos converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita).
Passo 2
Primeiro vamos escrever o termo de uma forma mais simples para enxergar o comportamento para
grande. Multiplicando potências com mesma base:
Portanto o termo geral pode ser escrito como
Essa forma deixa claro que o expoente é
, que tende para
quando
.
Passo 3
Estratégia de resolução: vamos comparar com a série harmônica
, que é um modelo clássico (série que diverge). O teste que usaremos é o Teste da Comparação por Limite (ou limit comparison test). Vou explicar o teste antes de aplicar:
Enunciado do teste (versão que vamos usar): sejam
e
sequências positivas. Se
existe e
, então
e
têm o mesmo comportamento: ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui escolhemos
(a série harmônica).
Passo 4
Calculemos a razão
:
Então precisamos avaliar o limite
Passo 5
Para calcular
usamos logaritmo e exponencial — é um truque padrão e seguro:
Agora observamos que
pois o log cresce muito mais devagar que
. Logo
Portanto
Passo 6
Aplicando o Teste da Comparação por Limite: temos
e
número positivo e finito. Assim
e
têm o mesmo comportamento. Como a série harmônica
é conhecida por divergir (por exemplo pelo teste da integral
), concluímos que a série dada também diverge.
Resposta
A série diverge.