Teste para convergência
\sum_{n=1}^{\infty}[n(n+1)]^{-1 / 2}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[n(n+1)\bigr]^{-1/2}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\bigl[n(n+1)\bigr]^{-1/2}.
  • A pergunta é: a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge ou diverge?

Passo 2

Primeiro passo prático: observar o sinal dos termos para escolher testes apropriados. Vamos verificar que a_n>0 para todo n\ge 1, porque n(n+1)>0. Isso permite usar testes que exigem termos não-negativos, como o teste da comparação ou o teste da comparação pelo limite (limit comparison test).

Passo 3

Intuição útil (e comum na prova): para grandes n o fator n+1 é parecido com n, então espera-se que
a_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\approx\frac{1}{n}.
Como a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\tfrac{1}{n} diverge, se conseguirmos formalizar que a_n tem comportamento assintótico semelhante a \tfrac{1}{n}, podemos concluir que nossa série também diverge. O modo formal que vou usar é o teste da comparação pelo limite (limit comparison test).

Passo 4

Enunciado do teste da comparação pelo limite (versão que usaremos): sejam a_n>0 e b_n>0. Se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
existe e 0<L<\infty, então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui escolhemos b_n=\dfrac{1}{n} (a série harmônica). Vamos calcular a razão \dfrac{a_n}{b_n}.

Passo 5

Calcular a razão passo a passo:
a_n=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}},\qquad b_n=\frac{1}{n}.
Então
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}}}{\dfrac{1}{n}} =\frac{n}{\sqrt{n(n+1)}}.
Agora simplificamos:
\frac{n}{\sqrt{n(n+1)}} =\frac{n}{\sqrt{n}\,\sqrt{n+1}} =\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} =\sqrt{\frac{n}{n+1}}.

Passo 6

Tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{n+1}}.
Dentro da raiz temos \dfrac{n}{n+1}=\dfrac{1}{1+1/n}, e quando n\to\infty temos 1/n\to 0, portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1.
Assim
L=\sqrt{1}=1.
Portanto 0<L<\infty, condição satisfeita para o teste da comparação pelo limite.

Passo 7

Pelo teste da comparação pelo limite, como L=1 e sabemos que a série escolhida de comparação \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} (a série harmônica) diverge, segue que a série original
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}
também diverge.

Passo 8

Para que fique bem entendido por que a série harmônica diverge (uma prova clássica curta, útil na prova): agrupe os termos assim:
1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdots
Cada bloco tem tamanho potência de dois e cada soma de um bloco é maior ou igual a \tfrac{1}{2}:
  • \tfrac{1}{3}+\tfrac{1}{4}>\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2},
  • \tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{7}+\tfrac{1}{8}>\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{8}=\tfrac{1}{2},
    e assim por diante. Como há infinitos blocos cada um com soma pelo menos \tfrac{1}{2}, a soma total diverge para +\infty. Logo a série harmônica diverge.

Resposta

A série diverge.

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