Teste para convergência
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A pergunta é: a série
converge ou diverge?
Passo 2
Primeiro passo prático: observar o sinal dos termos para escolher testes apropriados. Vamos verificar que
para todo
, porque
. Isso permite usar testes que exigem termos não-negativos, como o teste da comparação ou o teste da comparação pelo limite (limit comparison test).
Passo 3
Intuição útil (e comum na prova): para grandes
o fator
é parecido com
, então espera-se que
Como a série harmônica
diverge, se conseguirmos formalizar que
tem comportamento assintótico semelhante a
, podemos concluir que nossa série também diverge. O modo formal que vou usar é o teste da comparação pelo limite (limit comparison test).
Passo 4
Enunciado do teste da comparação pelo limite (versão que usaremos): sejam
e
. Se
existe e
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
Aqui escolhemos
(a série harmônica). Vamos calcular a razão
.
Passo 5
Calcular a razão passo a passo:
Então
Agora simplificamos:
Passo 6
Tomamos o limite quando
:
Dentro da raiz temos
, e quando
temos
, portanto
Assim
Portanto
, condição satisfeita para o teste da comparação pelo limite.
Passo 7
Pelo teste da comparação pelo limite, como
e sabemos que a série escolhida de comparação
(a série harmônica) diverge, segue que a série original
também diverge.
Passo 8
Para que fique bem entendido por que a série harmônica diverge (uma prova clássica curta, útil na prova): agrupe os termos assim:
Cada bloco tem tamanho potência de dois e cada soma de um bloco é maior ou igual a
:
-
, -
,
e assim por diante. Como há infinitos blocos cada um com soma pelo menos, a soma total diverge para . Logo a série harmônica diverge.
Resposta
A série diverge.