Teste 3 Uma variável aleatória contínua
está associada à seguinte função densidade de probabilidade, para
:
Qual é o valor da variância de
? Dicas: note a simetria (ou paridade) de
, e as implicações disto para os cálculos dos parâmetros de
. Além disso, seguinte integral indefinida pode ser útil:
A 1 .
(B) 2 .
C 4 .
□ 8 .
(E) 0,5 .
(B) 2 .
C 4 .
□ 8 .
(E) 0,5 .
Passo 1
O enunciado fornece a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
, válida para
:
O que é pedido: calcular a variância de
.
Informações relevantes dadas:
- A densidade é dada por
. - Foi dada a dica de explorar a simetria (paridade) de
. - Foi fornecida a integral indefinida útil:
Passo 2
Entendendo a simetria e o valor da média: a função densidade depende de
, logo é uma função par, isto é,
. Para distribuições simétricas em torno de
a média é
. Portanto,
Explicação rápida: por simetria, as contribuições positivas e negativas se cancelam na integral de
, tornando
.
Passo 3
Fórmula da variância e redução pela simetria: a variância é
Como
, temos
Para calcular
usamos a definição:
Como o integrando
é função par (produto de
que é par e
que é par), podemos reduzir a integral para o intervalo positivo:
Aqui usei explicitamente a simetria: peguei duas vezes a integral de
a
e o fator
ficou
.
Passo 4
Calcular a integral
usando a primitiva fornecida. Identificamos
na fórmula
Aplicando com
obtemos a primitiva
Passo 5
Avaliar a integral definida usando
:
Primeiro, comportamento no infinito: como
domina polinômios, temos
.
Agora calcular
. Substituindo
em
sobra apenas o último termo dentro dos parênteses multiplicado por
:
Calculemos
. Então
Portanto
Passo 6
Voltar para
: lembrando que
e que a integral vale
, então
Passo 7
Concluir a variância: como
(já que
), obtemos
Uma observação curta para lembrar: essa densidade é a distribuição de Laplace com parâmetro
, cuja variância geral é
, compatível com o cálculo direto acima.