Teste 3 Uma variável aleatória contínua X está associada à seguinte função densidade de probabilidade, para -\infty<x<\infty :
f_{X}(x)=\frac{1}{4} e^{-|x| / 2} .
Qual é o valor da variância de X ? Dicas: note a simetria (ou paridade) de f(x), e as implicações disto para os cálculos dos parâmetros de X. Além disso, seguinte integral indefinida pode ser útil:
\int x^{2} e^{a x} d x=\left(\frac{x^{2}}{a}-\frac{2 x}{a^{2}}+\frac{2}{a^{3}}\right) e^{a x} .
A 1 .
(B) 2 .
C 4 .
□ 8 .
(E) 0,5 .

Passo 1

O enunciado fornece a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X, válida para -\infty<x<\infty:
f_{X}(x)=\frac{1}{4}e^{-|x|/2}.
O que é pedido: calcular a variância de X.
Informações relevantes dadas:
  • A densidade é dada por f_{X}(x)=\dfrac{1}{4}e^{-|x|/2}.
  • Foi dada a dica de explorar a simetria (paridade) de f(x).
  • Foi fornecida a integral indefinida útil:
\int x^{2}e^{a x}\,dx=\left(\frac{x^{2}}{a}-\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2}{a^{3}}\right)e^{a x}.

Passo 2

Entendendo a simetria e o valor da média: a função densidade depende de |x|, logo é uma função par, isto é, f_{X}(-x)=f_{X}(x). Para distribuições simétricas em torno de 0 a média é 0. Portanto,
\mathbb{E}[X]=0.
Explicação rápida: por simetria, as contribuições positivas e negativas se cancelam na integral de x f_X(x), tornando \mathbb{E}[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x)\,dx=0.

Passo 3

Fórmula da variância e redução pela simetria: a variância é
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\bigl(\mathbb{E}[X]\bigr)^{2}.
Como \mathbb{E}[X]=0, temos
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}].
Para calcular \mathbb{E}[X^{2}] usamos a definição:
\mathbb{E}[X^{2}]=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f_X(x)\,dx =\int_{-\infty}^{\infty} x^{2}\left(\frac{1}{4}e^{-|x|/2}\right)dx.
Como o integrando x^{2}f_X(x) é função par (produto de x^{2} que é par e f_X que é par), podemos reduzir a integral para o intervalo positivo:
\mathbb{E}[X^{2}]=2\int_{0}^{\infty} x^{2}\left(\frac{1}{4}e^{-x/2}\right)dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x/2}\,dx.
Aqui usei explicitamente a simetria: peguei duas vezes a integral de 0 a \infty e o fator \tfrac{1}{4} ficou \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x/2}\,dx usando a primitiva fornecida. Identificamos a=-\tfrac{1}{2} na fórmula
\int x^{2}e^{a x}\,dx=\left(\frac{x^{2}}{a}-\frac{2x}{a^{2}}+\frac{2}{a^{3}}\right)e^{a x}.
Aplicando com a=-\tfrac{1}{2} obtemos a primitiva
F(x)=\left(\frac{x^{2}}{-\tfrac{1}{2}}-\frac{2x}{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}}+\frac{2}{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{3}}\right)e^{-x/2}.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando F(x):
\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x/2}\,dx=\lim_{b\to\infty}F(b)-F(0).
Primeiro, comportamento no infinito: como e^{-x/2} domina polinômios, temos \lim_{b\to\infty}F(b)=0.
Agora calcular F(0). Substituindo x=0 em F(x) sobra apenas o último termo dentro dos parênteses multiplicado por e^{0}=1:
F(0)=\frac{2}{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{3}}.
Calculemos \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{3}=-\tfrac{1}{8}. Então
F(0)=\frac{2}{-\tfrac{1}{8}}=2\cdot\left(-8\right)=-16.
Portanto
\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x/2}\,dx=0-(-16)=16.

Passo 6

Voltar para \mathbb{E}[X^{2}]: lembrando que
\mathbb{E}[X^{2}]=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} x^{2}e^{-x/2}\,dx
e que a integral vale 16, então
\mathbb{E}[X^{2}]=\frac{1}{2}\cdot 16=8.

Passo 7

Concluir a variância: como \operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}] (já que \mathbb{E}[X]=0), obtemos
\operatorname{Var}(X)=8.
Uma observação curta para lembrar: essa densidade é a distribuição de Laplace com parâmetro b=2, cuja variância geral é 2b^{2}=2\cdot 2^{2}=8, compatível com o cálculo direto acima.

Resposta

8

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