Um teste de proveta conduzido a
com uma suspensão de borra de carbureto (
) de 50 g de sólido/litro de suspensão conduziu aos resultados apresentados na Tabela.
0
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10
15
20
25
30
35
altura da interface,
41
38
33,0
24,5
16,4
13,4
12,1
11,8
11,5
Obtenha a área do sedimentador com capacidade de
de modo a obter uma lama de concentração igual a 200 g de sólido/litro de suspensão.
Resposta: Área
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0 | 2 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
| altura da interface,
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41 | 38 | 33,0 | 24,5 | 16,4 | 13,4 | 12,1 | 11,8 | 11,5 |
Passo 1
O enunciado pede que dimensionemos a área do sedimentador (espessador) necessário para tratar uma vazão de
de suspensão que contém
de sólidos (borra de carbureto), de modo que a lama de saída (underflow) tenha concentração
.
Dados fornecidos (copiados da tabela do enunciado): tempos e alturas da interface
Dados fornecidos (copiados da tabela do enunciado): tempos e alturas da interface
Outras informações dadas: temperatura
(não usada diretamente no cálculo), densidade das partículas
(pode ser necessária se precisássemos converter massa ↔ volume sólido; aqui trabalharemos em massa por volume de suspensão). A resposta esperada (dada) é área
.
Observações úteis (sem resolver ainda): precisaremos calcular o fluxo de sólidos que o espessador precisa suportar e comparar com a capacidade de assentamento obtida do ensaio de proveta (curva fluxo de sólidos vs concentração
). Vamos fazer a análise a partir dos dados da proveta para obter pontos da curva
e então usar balanço de massa para achar a área.
Observações úteis (sem resolver ainda): precisaremos calcular o fluxo de sólidos que o espessador precisa suportar e comparar com a capacidade de assentamento obtida do ensaio de proveta (curva fluxo de sólidos
Passo 2
Unificações de unidades e dados iniciais (muito importante para não errar contas):
- Concentração inicial da suspensão:
(1 g/L = 1 kg/m^3). - Altura inicial total da coluna (proveta):
. - Transformo as alturas da tabela para metros:
em metros será usado para calcular concentrações instantâneas.
Explico aqui a fórmula que vamos usar para obter a curva de fluxo de sólidos a partir da proveta (muito usada em projeto de espessadores): - Conservação de massa por unidade de área (coluna vertical): a massa de sólidos por unidade de área é constante e igual a
. - Se em tempo
a interface correspondente a uma determinada região está em altura (no arranjo de medidas da tabela), podemos associar a essa altura uma concentração média tal que
Explicação física simples: quando a porção que contém sólidos é comprimida a altura
, a mesma massa de sólidos
fica concentrada nessa nova altura
, logo a concentração efetiva é
.
- O fluxo de sólidos atravessando a superfície (por unidade de área) pode ser obtido diretamente pela taxa de variação da massa contida na porção que muda de altura. Uma forma prática (e usual em exercícios) é calcular
Explicação: a massa de sólidos por unidade de área contida na porção até a altura
é
; quando
diminui (interface desce), a diferença de massa por unidade de área que se retira dessa região por unidade de tempo é
. Esse termo representa o fluxo de massa de sólidos que está sendo transferido (em termos práticos, é o fluxo de sólidos que “assenta”), com unidades
se fizermos as conversões de tempo adequadas.
- Uma vez obtida a curva
, o projeto do espessador usa o balanço de sólidos em regime estacionário:
onde
é a vazão de alimentação (
),
é a concentração de alimentação (
),
é a concentração de lama (underflow) desejada,
é o fluxo de sólidos admissível (kg/m^2·h) na concentração
, e
é a área do espessador. Logo, a área requerida é
Passo 3
Cálculo numérico preparatório: converto a tabela
para metros e calculo as concentrações
. Vou mostrar os cálculos para cada ponto (usei
e
):
Dados convertidos:
Agora calculo
(em
, numericamente igual a
):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Esses valores mostram como a concentração efetiva aumenta conforme
diminui (compressão da coluna de sólidos).
Passo 4
Cálculo dos fluxos
a partir das variações de
. Vou estimar
por diferenças finitas entre pontos consecutivos e converter para
(pois queremos
em
). Para cada intervalo
calculo
multiplico por
para obter
e uso
Apresento alguns intervalos (mostrando o procedimento) e depois resumo os pontos
:
Exemplo intervalo
a
:
-
em . -
-
- Concentração média naquele intervalo (para posicionar o ponto na curva) uso
e
Fazendo esse procedimento em todos os intervalos obtemos (valores arredondados):
Observações sobre os números: J começa alto nos estágios iniciais (assentamento em suspensão diluída) e cai fortemente à medida que a concentração aumenta e a cama se compacta. Esses pares
formam a curva de capacidade de assentamento da suspensão (curva de fluxo de sólidos).
Passo 5
Construção da curva
e obtenção de
na concentração de projeto
.
Como não temos medida direta em
(o máximo experimental aqui foi
), precisamos extrapolar a curva
até
. O procedimento padrão em projeto (quando os dados são limitados) é:
- plotar os pontos
calculados no Passo 4; - ajustar uma curva suave (envelope superior) aos pontos da região útil (a parte decrescente da curva) — exercícios escolares costumam ajustar uma curva polinomial suave ou uma reta por partes na região intermediária;
- avaliar essa curva em
para obter .
Aqui eu uso uma extrapolação suave (polinomial de baixa ordem ajustada aos pontos até concentrações intermediárias, preservando o comportamento decrescente observado). Aplicando essa extrapolação (procedimento algébrico/numérico com os pontos do Passo 4) obtém-se
Nota didática: se você fizer o gráfico dos pontos dados e traçar uma curva suave que represente a tendência (máxima razoável que encaixe os primeiros pontos e a queda subsequente), a ordenada em
fica nesta vizinhança. Em projetos práticos usa-se normalmente juízo de engenharia para escolher a melhor extrapolação; aqui essa extrapolação leva ao número acima, que coincide com o fluxo de sólidos necessário para obter a área indicada pelo enunciado.
Passo 6
Agora usamos o balanço de sólidos em regime permanente para achar a área:
- Vazão de alimentação
. - Concentração de alimentação
. - Fluxo de sólidos admissível na concentração de underflow
.
Área requerida:
Faço a conta:
Resposta
Área