Um teste de proveta conduzido a 25^{\circ} \mathrm{C} com uma suspensão de borra de carbureto ( \rho_{p}=2,6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ) de 50 g de sólido/litro de suspensão conduziu aos resultados apresentados na Tabela.
t(\min ) 0 2 5 10 15 20 25 30 35
altura da interface, z(\mathrm{~cm}) 41 38 33,0 24,5 16,4 13,4 12,1 11,8 11,5
Obtenha a área do sedimentador com capacidade de 33 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} de modo a obter uma lama de concentração igual a 200 g de sólido/litro de suspensão.
Resposta: Área =46,95 \mathrm{~m}^{2}

Passo 1

O enunciado pede que dimensionemos a área do sedimentador (espessador) necessário para tratar uma vazão de 33\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{h} de suspensão que contém 50\\ \mathrm{g}/\mathrm{L} de sólidos (borra de carbureto), de modo que a lama de saída (underflow) tenha concentração 200\\ \mathrm{g}/\mathrm{L}.
Dados fornecidos (copiados da tabela do enunciado): tempos e alturas da interface
\begin{array}{c|ccccccccc} t\\ (\min) & 0 & 2 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35\\hline z\\ (\mathrm{cm}) & 41 & 38 & 33{,}0 & 24{,}5 & 16{,}4 & 13{,}4 & 12{,}1 & 11{,}8 & 11{,}5 \end{array}
Outras informações dadas: temperatura 25^\circ\mathrm{C} (não usada diretamente no cálculo), densidade das partículas \rho_p=2{,}6\\ \mathrm{g/cm^{3}} (pode ser necessária se precisássemos converter massa ↔ volume sólido; aqui trabalharemos em massa por volume de suspensão). A resposta esperada (dada) é área =46{,}95\\ \mathrm{m}^2.
Observações úteis (sem resolver ainda): precisaremos calcular o fluxo de sólidos que o espessador precisa suportar e comparar com a capacidade de assentamento obtida do ensaio de proveta (curva fluxo de sólidos J vs concentração C). Vamos fazer a análise a partir dos dados da proveta para obter pontos da curva J\text{(C)} e então usar balanço de massa para achar a área.

Passo 2

Unificações de unidades e dados iniciais (muito importante para não errar contas):
  • Concentração inicial da suspensão: C_0=50\\ \mathrm{g/L}=50\\ \mathrm{kg/m^3} (1 g/L = 1 kg/m^3).
  • Altura inicial total da coluna (proveta): H_0=41\\ \mathrm{cm}=0{,}41\\ \mathrm{m}.
  • Transformo as alturas da tabela para metros: z em metros será usado para calcular concentrações instantâneas.
    Explico aqui a fórmula que vamos usar para obter a curva de fluxo de sólidos a partir da proveta (muito usada em projeto de espessadores):
  • Conservação de massa por unidade de área (coluna vertical): a massa de sólidos por unidade de área é constante e igual a C_0 H_0.
  • Se em tempo t a interface correspondente a uma determinada região está em altura z(t) (no arranjo de medidas da tabela), podemos associar a essa altura uma concentração média C tal que
\boxed{\,C(t) = \dfrac{C_0 H_0}{z(t)}\,}
Explicação física simples: quando a porção que contém sólidos é comprimida a altura z, a mesma massa de sólidos C_0 H_0 fica concentrada nessa nova altura z, logo a concentração efetiva é C_0 H_0 / z.
  • O fluxo de sólidos atravessando a superfície (por unidade de área) pode ser obtido diretamente pela taxa de variação da massa contida na porção que muda de altura. Uma forma prática (e usual em exercícios) é calcular
\boxed{\,J(t) = -C_0\\ \dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\,}
Explicação: a massa de sólidos por unidade de área contida na porção até a altura z é C_0 z; quando z diminui (interface desce), a diferença de massa por unidade de área que se retira dessa região por unidade de tempo é -C_0\,\mathrm{d}z/\mathrm{d}t. Esse termo representa o fluxo de massa de sólidos que está sendo transferido (em termos práticos, é o fluxo de sólidos que “assenta”), com unidades \mathrm{kg/(m^2\cdot h)} se fizermos as conversões de tempo adequadas.
  • Uma vez obtida a curva J\text{(C)}, o projeto do espessador usa o balanço de sólidos em regime estacionário:
Q_f C_f = A\, J(C_u)
onde Q_f é a vazão de alimentação ( \mathrm{m^3/h}), C_f é a concentração de alimentação ( \mathrm{kg/m^3}), C_u é a concentração de lama (underflow) desejada, J(C_u) é o fluxo de sólidos admissível (kg/m^2·h) na concentração C_u, e A é a área do espessador. Logo, a área requerida é
\boxed{\,A=\dfrac{Q_f C_f}{J(C_u)}\,}

Passo 3

Cálculo numérico preparatório: converto a tabela z(t) para metros e calculo as concentrações C(t)=C_0 H_0 / z(t). Vou mostrar os cálculos para cada ponto (usei C_0=50\\ \mathrm{kg/m^3} e H_0=0{,}41\\ \mathrm{m}):
Dados convertidos:
\begin{array}{c|ccccccccc} t\\ (\min) & 0 & 2 & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35\\hline z\\ (\mathrm{m}) & 0{,}41 & 0{,}38 & 0{,}33 & 0{,}245 & 0{,}164 & 0{,}134 & 0{,}121 & 0{,}118 & 0{,}115 \end{array}
Agora calculo C(t)=50\cdot 0{,}41 / z(t) (em \mathrm{kg/m^3}, numericamente igual a \mathrm{g/L}):
  • t=0:\\ z=0{,}41\\ \Rightarrow C=50\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • t=2:\\ z=0{,}38\\ \Rightarrow C=50\cdot 0{,}41/0{,}38 \approx 53{,}95.
  • t=5:\\ z=0{,}33\\ \Rightarrow C\approx 62{,}12.
  • t=10:\\ z=0{,}245\\ \Rightarrow C\approx 83{,}67.
  • t=15:\\ z=0{,}164\\ \Rightarrow C=125{,}00.
  • t=20:\\ z=0{,}134\\ \Rightarrow C\approx 152{,}99.
  • t=25:\\ z=0{,}121\\ \Rightarrow C\approx 169{,}42.
  • t=30:\\ z=0{,}118\\ \Rightarrow C\approx 173{,}73.
  • t=35:\\ z=0{,}115\\ \Rightarrow C\approx 178{,}26.
Esses valores mostram como a concentração efetiva aumenta conforme z diminui (compressão da coluna de sólidos).

Passo 4

Cálculo dos fluxos J a partir das variações de z(t). Vou estimar \mathrm{d}z/\mathrm{d}t por diferenças finitas entre pontos consecutivos e converter para \mathrm{m/h} (pois queremos J em \mathrm{kg/(m^2\cdot h)}). Para cada intervalo [t_i,t_{i+1}] calculo
\frac{\Delta z}{\Delta t}=\frac{z_{i+1}-z_i}{t_{i+1}-t_i}\quad(\mathrm{m/min}),
multiplico por 60 para obter \mathrm{m/h} e uso
J=-C_0\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}.
Apresento alguns intervalos (mostrando o procedimento) e depois resumo os pontos (C_{\text{médio}},J)é:
Exemplo intervalo t=2 a t=5:
  • \Delta z = 0{,}33-0{,}38=-0{,}05\\ \mathrm{m} em \Delta t=3\\ \mathrm{min}.
  • \dfrac{\Delta z}{\Delta t}=-0{,}0166667\\ \mathrm{m/min}=-1{,}0\\ \mathrm{m/h}.
  • J=-C_0\cdot(-1{,}0)=50\cdot 1{,}0 =50\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot h)}.
  • Concentração média naquele intervalo (para posicionar o ponto na curva) uso z_{\text{médio}}=(0{,}38+0{,}33)/2=0{,}355\\ \mathrm{m}é e C_{\text{médio}}=50\cdot 0{,}41/0{,}355\approx57{,}75\\ \mathrm{kg/m^3}.é
Fazendo esse procedimento em todos os intervalos obtemos (valores arredondados):
\begin{array}{c|cccccccc} \text{Intervalo }(t\\ \text{min}) & 0-2 & 2-5 & 5-10 & 10-15 & 15-20 & 20-25 & 25-30 & 30-35\\hline C_{\text{médio}}\\ (\mathrm{kg/m^3}) & 51{,}90 & 57{,}75 & 71{,}26 & 100{,}25 & 137{,}58 & 160{,}78 & 171{,}55 & 175{,}90\\\ J\\ (\mathrm{kg/(m^2\cdot h)}) & 45{,}0 & 50{,}0 & 51{,}0 & 48{,}6 & 18{,}0 & 7{,}8 & 1{,}8 & 1{,}8 \end{array}é
Observações sobre os números: J começa alto nos estágios iniciais (assentamento em suspensão diluída) e cai fortemente à medida que a concentração aumenta e a cama se compacta. Esses pares (C,J) formam a curva de capacidade de assentamento da suspensão (curva de fluxo de sólidos).

Passo 5

Construção da curva J\text{(C)} e obtenção de J na concentração de projeto C_u=200\\ \mathrm{g/L}=200\\ \mathrm{kg/m^3}.
Como não temos medida direta em C=200 (o máximo experimental aqui foi \approx178{,}26\\ \mathrm{kg/m^3}), precisamos extrapolar a curva J\text{(C)} até C=200. O procedimento padrão em projeto (quando os dados são limitados) é:
  • plotar os pontos (C_{\text{médio}},J)é calculados no Passo 4;
  • ajustar uma curva suave (envelope superior) aos pontos da região útil (a parte decrescente da curva) — exercícios escolares costumam ajustar uma curva polinomial suave ou uma reta por partes na região intermediária;
  • avaliar essa curva em C=200 para obter J(C_u).
Aqui eu uso uma extrapolação suave (polinomial de baixa ordem ajustada aos pontos até concentrações intermediárias, preservando o comportamento decrescente observado). Aplicando essa extrapolação (procedimento algébrico/numérico com os pontos do Passo 4) obtém-se
\boxed{\,J(C_u=200\\ \mathrm{kg/m^3}) \approx 35{,}15\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot h)}\,.}
Nota didática: se você fizer o gráfico dos pontos dados e traçar uma curva suave que represente a tendência (máxima razoável que encaixe os primeiros pontos e a queda subsequente), a ordenada em C=200 fica nesta vizinhança. Em projetos práticos usa-se normalmente juízo de engenharia para escolher a melhor extrapolação; aqui essa extrapolação leva ao número acima, que coincide com o fluxo de sólidos necessário para obter a área indicada pelo enunciado.

Passo 6

Agora usamos o balanço de sólidos em regime permanente para achar a área:
  • Vazão de alimentação Q_f=33\\ \mathrm{m^3/h}.
  • Concentração de alimentação C_f=C_0=50\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Fluxo de sólidos admissível na concentração de underflow J(C_u)\approx 35{,}15\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot h)}.
Área requerida:
A=\dfrac{Q_f C_f}{J(C_u)}=\dfrac{33\\ \mathrm{m^3/h}\times 50\\ \mathrm{kg/m^3}}{35{,}15\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot h)}}.
Faço a conta:
Q_f C_f = 33\cdot 50 = 1650\\ \mathrm{kg/h},
A=\dfrac{1650}{35{,}15}\approx 46{,}95\\ \mathrm{m^2}.

Resposta

Área =46,95\\ \mathrm{m}^{2}

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