Em um teste Qui-Quadrado de independência entre variáveis, que característica percebida na amostra faria se aceitar a hipótese nula?

Passo 1

O enunciado pergunta, num teste Qui-Quadrado de independência entre duas variáveis categóricas, qual característica das frequências observadas na amostra faria com que aceitássemos a hipótese nula H_0 (isto é, que as variáveis são independentes). O conteúdo envolve cálculo da estatística de teste \chi^2 e comparação com o valor crítico ou com o p-valor.

Passo 2

Em um teste de independência formulamos
H_0:\text{as variáveis são independentes},áã
H_1:\text{há associação entre as variáveis}.áçãá
Calculamos as frequências esperadas em cada célula da tabela de contingência via
E_{ij} = \frac{(\text{soma da linha }i)\times(\text{soma da coluna }j)}{\text{total}},
e então a estatística
\chi^2 = \sum_{i}\sum_{j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},
onde O_{ij} são as frequências observadas.

Passo 3

O critério de decisão é comparar o valor calculado de \chi^2 com o valor crítico \chi^2_{\alpha,\nu} (ou olhar o p-valor). Se
\chi^2 < \chi^2_{\alpha,\nu}
ou equivalentemente se o p-valor for maior que o nível de significância \alpha, não rejeitamos H_0.

Passo 4

Na prática, aceitar H_0 significa que as frequências observadas O_{ij} estão muito próximas das frequências esperadas E_{ij} sob independência, de modo que os resíduos (O_{ij}-E_{ij}) são pequenos e não há desvio sistemático que indique associação.

Resposta

Aceita-se a hipótese nula quando as frequências observadas na tabela estiverem muito próximas das frequências esperadas sob independência, levando a um valor de \chi^2 baixo (p-valor acima de \alpha).

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