Teste a série para convergência ou divergência:
Passo 1
O enunciado pede para testar a série
Informações fornecidas e o que precisamos decidir:
- O sinal alterna por causa de
. - A parte positiva (módulo dos termos) é
. - Precisamos decidir se a série converge ou diverge, e também se converge absolutamente ou apenas condicionalmente.
Passo 2
Verificar o limite dos termos
. Usamos propriedades de limites:
e
. Portanto, pelo produto de limites,
Isso é necessário para qualquer convergência de uma série com sinais alternados: os termos devem tender a zero.
Passo 3
Mostrar que
é monótona decrescente (pelo menos a partir de
). Defino a função contínua
de modo que
. Calculo a derivada de
para analisar monotonicidade. Usando regra do produto e cadeia,
Como
e
, obtemos
Para
temos
. Logo
é estritamente decrescente em
e, portanto, a sequência
é decrescente.
Passo 4
Aplicar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz). O teste diz: se
é uma sequência de números positivos tal que
para todo
(monotonia) e
, então a série
converge. No nosso caso já vimos em
Passo 5
Verificar se a convergência é absoluta. Consideramos a série das absolutas:
Observe que para todo
vale
. Então
Como a série harmônica
diverge, pelo teste de comparação (uma série com termos maiores ou iguais aos de uma série divergente também diverge) concluímos que
diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.
Passo 6
Conclusão final combinando os resultados anteriores: a série é convergente por ser uma série alternada com termos positivos decrescentes que tendem a zero (teste de Leibniz), mas a série das absolutas diverge (comparação com a harmônica). Portanto a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente (converge, mas não é absolutamente convergente).