Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1} \frac{\mathrm{e}^{1 / k}}{k}

Passo 1

O enunciado pede para testar a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{\mathrm{e}^{1/k}}{k}.
Informações fornecidas e o que precisamos decidir:
  • O sinal alterna por causa de (-1)^{k-1}.
  • A parte positiva (módulo dos termos) é a_k=\dfrac{\mathrm{e}^{1/k}}{k}.
  • Precisamos decidir se a série converge ou diverge, e também se converge absolutamente ou apenas condicionalmente.

Passo 2

Verificar o limite dos termos a_k. Usamos propriedades de limites: \lim_{k\to\infty}\mathrm{e}^{1/k}=\mathrm{e}^0=1 e \lim_{k\to\infty}\dfrac{1}{k}=0. Portanto, pelo produto de limites,
\lim_{k\to\infty}a_k=\lim_{k\to\infty}\frac{\mathrm{e}^{1/k}}{k}=1\cdot 0=0.
Isso é necessário para qualquer convergência de uma série com sinais alternados: os termos devem tender a zero.

Passo 3

Mostrar que a_k é monótona decrescente (pelo menos a partir de k=1). Defino a função contínua
f(x)=\frac{\mathrm{e}^{1/x}}{x},\qquad x\ge 1,
de modo que a_k=f(k). Calculo a derivada de f para analisar monotonicidade. Usando regra do produto e cadeia,
f'(x)=\left(\mathrm{e}^{1/x}\right)'\cdot x^{-1}+\mathrm{e}^{1/x}\cdot\left(x^{-1}\right)'.
Como \left(\mathrm{e}^{1/x}\right)'=\mathrm{e}^{1/x}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) e \left(x^{-1}\right)'=-\frac{1}{x^2}, obtemos
f'(x)=-\frac{\mathrm{e}^{1/x}}{x^3}-\frac{\mathrm{e}^{1/x}}{x^2}=-\mathrm{e}^{1/x}\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{x^2}\right).
Para x\ge 1 temos f'(x)<0. Logo f é estritamente decrescente em [1,\infty) e, portanto, a sequência (a_k)_{k\ge1} é decrescente.

Passo 4

Aplicar o teste de séries alternadas (teste de Leibniz). O teste diz: se (a_k) é uma sequência de números positivos tal que a_{k+1}\le a_k para todo k (monotonia) e \lim_{k\to\infty}a_k=0, então a série
\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}a_k
converge. No nosso caso já vimos em

Passo 5

Verificar se a convergência é absoluta. Consideramos a série das absolutas:
\sum_{k=1}^\infty |(-1)^{k-1}|\frac{\mathrm{e}^{1/k}}{k}=\sum_{k=1}^\infty\frac{\mathrm{e}^{1/k}}{k}.
Observe que para todo k\ge1 vale \mathrm{e}^{1/k}>1. Então
\frac{\mathrm{e}^{1/k}}{k}\ge\frac{1}{k}.
Como a série harmônica \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k} diverge, pelo teste de comparação (uma série com termos maiores ou iguais aos de uma série divergente também diverge) concluímos que
\sum_{k=1}^\infty\frac{\mathrm{e}^{1/k}}{k}
diverge. Logo a série original não é absolutamente convergente.

Passo 6

Conclusão final combinando os resultados anteriores: a série é convergente por ser uma série alternada com termos positivos decrescentes que tendem a zero (teste de Leibniz), mas a série das absolutas diverge (comparação com a harmônica). Portanto a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge, mas não é absolutamente convergente).

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