Teste a série para convergência ou divergência:
Passo 1
O enunciado pede para testar a série para convergência ou divergência. A série dada é
Informações importantes que o enunciado dá:
- O sinal alterna porque há o fator
. - O termo geral (em valor absoluto) é
. - A pergunta é: a soma infinita converge (condicionalmente ou absolutamente) ou diverge?
Passo 2
Primeira ideia útil (ferramenta básica): para que uma série
converja é necessário (condição necessária) que os termos
tendam a zero quando
. Isso é chamado às vezes de “teste do termo geral” ou “teste necessário”: se
então a série diverge. Vou aplicar esse ponto aqui: identifiquemos o módulo do termo, porque se o módulo não vai a zero então certamente o termo com sinal alternado também não vai a zero.
Passo 3
Calcular o limite do módulo do termo geral:
Para encontrar
divido numerador e denominador por
:
Agora tomo limite quando
. Como
, obtemos
Passo 4
Interpretação do resultado do passo anterior:
. Isso significa que os módulos dos termos ficam, para
grande, próximos de
. Portanto os termos da série original não tendem a zero; de fato os termos com sinal alternado oscilam entre valores aproximados de
, então
não existe e, em particular, não é zero.
Passo 5
Aplicando o teste do termo geral (condição necessária de convergência): como os termos não tendem a zero, a série não pode convergir. Logo a série diverge.
Passo 6
Observações didáticas e comparação com casos que confundem: às vezes uma série com sinais alternados converge (ex.: a série alternada harmônica
converge condicionalmente) — mas para que isso ocorra é preciso que os módulos dos termos
tendam a zero e, normalmente, sejam monotonicamente decrescentes. No nosso caso isso não acontece porque o módulo tende a
, então nem a condição necessária é satisfeita.
Resposta
A série diverge, pois
, logo os termos não tendem a zero.