Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{\sqrt{k}}{1+2 \sqrt{k}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a série para convergência ou divergência. A série dada é
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\,\frac{\sqrt{k}}{1+2\sqrt{k}}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • O sinal alterna porque há o fator (-1)^k.
  • O termo geral (em valor absoluto) é \displaystyle \frac{\sqrt{k}}{1+2\sqrt{k}}.
  • A pergunta é: a soma infinita converge (condicionalmente ou absolutamente) ou diverge?

Passo 2

Primeira ideia útil (ferramenta básica): para que uma série \sum_{k=1}^\infty t_k converja é necessário (condição necessária) que os termos t_k tendam a zero quando k\to\infty. Isso é chamado às vezes de “teste do termo geral” ou “teste necessário”: se \lim_{k\to\infty} t_k \neq 0 então a série diverge. Vou aplicar esse ponto aqui: identifiquemos o módulo do termo, porque se o módulo não vai a zero então certamente o termo com sinal alternado também não vai a zero.

Passo 3

Calcular o limite do módulo do termo geral:
a_k=\frac{\sqrt{k}}{1+2\sqrt{k}}.
Para encontrar \lim_{k\to\infty} a_k divido numerador e denominador por \sqrt{k}:
a_k=\frac{\sqrt{k}}{1+2\sqrt{k}}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{k}}+2}.
Agora tomo limite quando k\to\infty. Como \displaystyle \frac{1}{\sqrt{k}}\to 0, obtemos
\lim_{k\to\infty} a_k=\frac{1}{0+2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Interpretação do resultado do passo anterior: \lim_{k\to\infty} a_k=\tfrac{1}{2}\neq 0. Isso significa que os módulos dos termos ficam, para k grande, próximos de \tfrac{1}{2}. Portanto os termos da série original não tendem a zero; de fato os termos com sinal alternado oscilam entre valores aproximados de \pm\tfrac{1}{2}, então \lim_{k\to\infty}(-1)^k\frac{\sqrt{k}}{1+2\sqrt{k}} não existe e, em particular, não é zero.

Passo 5

Aplicando o teste do termo geral (condição necessária de convergência): como os termos não tendem a zero, a série não pode convergir. Logo a série diverge.

Passo 6

Observações didáticas e comparação com casos que confundem: às vezes uma série com sinais alternados converge (ex.: a série alternada harmônica \displaystyle \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\frac{1}{k} converge condicionalmente) — mas para que isso ocorra é preciso que os módulos dos termos \left(\frac{1}{k}\right) tendam a zero e, normalmente, sejam monotonicamente decrescentes. No nosso caso isso não acontece porque o módulo tende a \tfrac{1}{2}, então nem a condição necessária é satisfeita.

Resposta

A série diverge, pois \displaystyle \lim_{k\to\infty}\frac{\sqrt{k}}{1+2\sqrt{k}}=\tfrac{1}{2}\neq 0, logo os termos não tendem a zero.

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