Teste a série quanto a convergência ou divergência.
12.
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Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu teste se ela converge ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - A parte positiva (módulo) dos termos é
. - A série é alternada (sinais
) por causa do fator .
O que o enunciado pede: decidir se a série converge ou diverge e, se convergir, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
Passo 2
Verifico a condição necessária para convergência de uma série alternada: o módulo dos termos deve tender a zero. Vou calcular
Faço uma manipulação que facilita o limite:
Como
e
, pelo produto de limites
Portanto a condição necessária (
) está satisfeita.
Passo 3
Para aplicar o teste de séries alternadas (Teste de Leibniz) também preciso que
seja monotonicamente decrescente a partir de algum
. Vou mostrar que
é decrescente para
.
Considere a função contínua
para
. Calculo a derivada para checar monotonicidade:
Simplificando o numerador:
Logo
Para
temos
, enquanto o denominador é positivo, então
para
. Assim
é decrescente em
, o que implica que a sequência
é decrescente para todo
. Ou seja,
é eventualmente decrescente.
Passo 4
Agora aplico o Teste de Leibniz (Teste das séries alternadas): se
é uma sequência positiva, eventualmentte decrescente e
, então a série
converge. Já verifiquei que
, que
e que
é decrescente para
. Portanto a série dada converge.
Explicação rápida do teste (intuição): os termos alternados com diminuição e limite zero produzem cancelamentos suficientes para a soma parcial estabilizar.
Passo 5
Resta saber se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso avalio a série dos módulos:
Comparo com a série
, que é uma série
-com
e, portanto, diverge. Faço a comparação por limite (teste da comparação limite):
Como o limite é um número finito e positivo e
diverge, segue que
também diverge. Assim a série dos módulos diverge, ou seja, a série original não converge absolutamente.
Passo 6
Conclusão final combinando os resultados anteriores: a série alternada converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (pois a série dos módulos diverge). Portanto a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente.