Teste a série quanto a convergência ou divergência.
12. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\sqrt{n}}{n+4}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{\sqrt{n}}{n+4}
e pede que eu teste se ela converge ou diverge. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n = (-1)^{n-1}\dfrac{\sqrt{n}}{n+4}.
  • A parte positiva (módulo) dos termos é b_n=\dfrac{\sqrt{n}}{n+4}.
  • A série é alternada (sinais (+,-,+,-,\dots)) por causa do fator (-1)^{n-1}.
O que o enunciado pede: decidir se a série converge ou diverge e, se convergir, dizer se é convergência absoluta ou condicional.

Passo 2

Verifico a condição necessária para convergência de uma série alternada: o módulo dos termos deve tender a zero. Vou calcular
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+4}.
Faço uma manipulação que facilita o limite:
\frac{\sqrt{n}}{n+4} = \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{n}{n+4}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0 e \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+4}=1, pelo produto de limites
\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}}{n+4}=0.
Portanto a condição necessária ( a_n\to0) está satisfeita.

Passo 3

Para aplicar o teste de séries alternadas (Teste de Leibniz) também preciso que b_n seja monotonicamente decrescente a partir de algum N. Vou mostrar que b_n é decrescente para n\ge4.
Considere a função contínua f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+4} para x>0. Calculo a derivada para checar monotonicidade:
f'(x)=\frac{\frac{1}{2}x^{-1/2}(x+4)-x^{1/2}}{(x+4)^2}.
Simplificando o numerador:
\frac{1}{2}x^{-1/2}(x+4)-x^{1/2}=\frac{x+4}{2\sqrt{x}}-\sqrt{x}=\frac{4-x}{2\sqrt{x}}.
Logo
f'(x)=\frac{4-x}{2\sqrt{x}\,(x+4)^2}.
Para x\ge4 temos 4-x\le0, enquanto o denominador é positivo, então f'(x)\le0 para x\ge4. Assim f é decrescente em [4,\infty), o que implica que a sequência b_n=f(n) é decrescente para todo n\ge4. Ou seja, b_n é eventualmente decrescente.

Passo 4

Agora aplico o Teste de Leibniz (Teste das séries alternadas): se (b_n) é uma sequência positiva, eventualmentte decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^{n-1} b_n converge. Já verifiquei que b_n>0, que b_n\to0 e que b_n é decrescente para n\ge4. Portanto a série dada converge.
Explicação rápida do teste (intuição): os termos alternados com diminuição e limite zero produzem cancelamentos suficientes para a soma parcial estabilizar.

Passo 5

Resta saber se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso avalio a série dos módulos:
\sum_{n=1}^\infty b_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sqrt{n}}{n+4}.
Comparo com a série \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}, que é uma série p-com p=\tfrac{1}{2} e, portanto, diverge. Faço a comparação por limite (teste da comparação limite):
\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}/(n+4)}{1/\sqrt{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+4}=1.
Como o limite é um número finito e positivo e \sum 1/\sqrt{n} diverge, segue que \sum b_n também diverge. Assim a série dos módulos diverge, ou seja, a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Conclusão final combinando os resultados anteriores: a série alternada converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (pois a série dos módulos diverge). Portanto a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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