Mostre que \lim _{x \rightarrow-\infty} e^{x}=0.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que
\lim_{x\rightarrow -\infty} e^{x} = 0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função considerada é e^{x}, definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Precisa-se analisar o comportamento de e^{x} quando x tende para -\infty.

Passo 2

Mudança de variável para simplificar a ideia. Defina a variável
t = -x.
Então, quando x\rightarrow -\infty temos t\rightarrow +\infty. Reescrevendo a exponencial,
e^{x} = e^{-t} = \frac{1}{e^{t}}.
Explicação do que cada variável significa: x é a variável original que tende para -\infty; t é a nova variável igual a -x, que tende para +\infty. A igualdade e^{x}=1/e^{t} é apenas a propriedade básica da exponenciação com expoente negativo.

Passo 3

Observação lógica sobre recíprocos: se uma função g(t) satisfaz g(t)\rightarrow +\infty quando t\rightarrow +\infty, então o recíproco 1/g(t) tende a 0 quando t\rightarrow +\infty. Raciocínio curto: para dado \varepsilon>0 existe M>0 tal que g(t)>M para t suficientemente grande; escolhendo M>1/\varepsilon obtemos 1/g(t)<\varepsilon. Aplicaremos isso com g(t)=e^{t}.

Passo 4

Mostrar que e^{t}\rightarrow +\infty quando t\rightarrow +\infty. Para isso uso a série de Taylor da exponencial (uma definição usual e muito útil):
e^{t} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!}.
Explicação da fórmula: nesta soma, k é um índice inteiro não negativo que percorre 0,1,2,\dots; cada termo \dfrac{t^{k}}{k!} é não negativo quando t\ge 0 porque potência e fatorial são não negativos. Portanto, para qualquer inteiro fixo n\ge 0 e para todo t\ge 0 vale
e^{t} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{t^{k}}{k!} \ge \frac{t^{n}}{n!}.
Aqui a desigualdade decorre do fato de que a soma tem entre seus termos o termo \dfrac{t^{n}}{n!} e todos os termos são não negativos.
Agora, para qualquer n fixo, o polinômio \dfrac{t^{n}}{n!} tende para +\infty quando t\rightarrow +\infty. Logo, pela desigualdade acima,
e^{t}\ge \frac{t^{n}}{n!}\quad\Rightarrow\quad e^{t}\rightarrow +\infty\\ \text{quando}\\ t\rightarrow +\infty.
(Isto é, e^{t} cresce pelo menos tanto quanto qualquer potência t^{n}, portanto não pode ficar limitado.)

Passo 5

Concluir o limite pedido usando os passos anteriores. Já temos que, quando x\rightarrow -\infty (ou seja, t=-x\rightarrow +\infty), o denominador e^{t}\rightarrow +\infty. Pelo raciocínio do Passo 3 sobre recíprocos, isso implica
\frac{1}{e^{t}} \longrightarrow 0 \quad\text{quando}\quad t\rightarrow +\infty.
Como e^{x} = \dfrac{1}{e^{t}}, concluímos que
\lim_{x\rightarrow -\infty} e^{x} = 0.
Intuição numérica rápida (para motivar e fixar): e^{-1}\approx 0{,}3679, e^{-2}\approx 0{,}1353, e^{-3}\approx 0{,}0498. À medida que x vira números cada vez mais negativos, e^{x} vai ficando cada vez menor e aproxima-se de zero, sem nunca chegar a zero porque e^{x}>0 para todo x.

Resposta

0

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