Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função considerada é
, definida para todo . - Precisa-se analisar o comportamento de
quando tende para .
Passo 2
Mudança de variável para simplificar a ideia. Defina a variável
Então, quando
temos
. Reescrevendo a exponencial,
Explicação do que cada variável significa:
é a variável original que tende para
;
é a nova variável igual a
, que tende para
. A igualdade
é apenas a propriedade básica da exponenciação com expoente negativo.
Passo 3
Observação lógica sobre recíprocos: se uma função
satisfaz
quando
, então o recíproco
tende a
quando
. Raciocínio curto: para dado
existe
tal que
para
suficientemente grande; escolhendo
obtemos
. Aplicaremos isso com
.
Passo 4
Mostrar que
quando
. Para isso uso a série de Taylor da exponencial (uma definição usual e muito útil):
Explicação da fórmula: nesta soma,
é um índice inteiro não negativo que percorre
; cada termo
é não negativo quando
porque potência e fatorial são não negativos. Portanto, para qualquer inteiro fixo
e para todo
vale
Aqui a desigualdade decorre do fato de que a soma tem entre seus termos o termo
e todos os termos são não negativos.
Agora, para qualquer
fixo, o polinômio
tende para
quando
. Logo, pela desigualdade acima,
(Isto é,
cresce pelo menos tanto quanto qualquer potência
, portanto não pode ficar limitado.)
Passo 5
Concluir o limite pedido usando os passos anteriores. Já temos que, quando
(ou seja,
), o denominador
. Pelo raciocínio do Passo 3 sobre recíprocos, isso implica
Como
, concluímos que
Intuição numérica rápida (para motivar e fixar):
,
,
. À medida que
vira números cada vez mais negativos,
vai ficando cada vez menor e aproxima-se de zero, sem nunca chegar a zero porque
para todo
.