Teste a série quanto a convergência ou divergência.
19. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{3 n-1}}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{3n-1}}{n^{2}+1}.
Trata-se de uma série de termos positivos e de crescimento exponencial em n, então o teste da razão (d’Alembert) é apropriado aqui.

Passo 2

Seja
a_{n} = \frac{2^{3n-1}}{n^{2}+1}.
Calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{2^{3(n+1)-1}}{(n+1)^{2}+1}\,\bigg/\!\frac{2^{3n-1}}{n^{2}+1} = \frac{2^{3n+2}}{(n+1)^{2}+1}\cdot\frac{n^{2}+1}{2^{3n-1}} = 2^{3}\,\frac{n^{2}+1}{(n+1)^{2}+1} = 8\,\frac{n^{2}+1}{(n+1)^{2}+1}.
Tomando o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 8\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+1}{n^{2}+2n+2} =8\cdot1 =8.
Como esse limite é maior que 1, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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