Teste a série quanto a convergência ou divergência.
18. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n}+1}{n(\sqrt{n}+1)}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n}+1}{n(\sqrt{n}+1)}.
O conteúdo envolvido são testes de convergência de séries numéricas, em especial comparação assintótica com séries do tipo p-série.

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral para ver seu comportamento quando n é grande. Escrevendo
a_n = \frac{\sqrt[3]{n}+1}{n(\sqrt{n}+1)}
podemos notar que para n grande
\sqrt[3]{n}+1 = n^{1/3}\bigl(1 + n^{-1/3}\bigr), \quad \sqrt{n}+1 = n^{1/2}\bigl(1 + n^{-1/2}\bigr).
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a_n = \frac{n^{1/3}\bigl(1 + n^{-1/3}\bigr)}{n \cdot n^{1/2}\bigl(1 + n^{-1/2}\bigr)} = \frac{n^{1/3}}{n^{3/2}}\;\frac{1 + n^{-1/3}}{1 + n^{-1/2}} = n^{-7/6}\;\frac{1 + n^{-1/3}}{1 + n^{-1/2}}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}\frac{1 + n^{-1/3}}{1 + n^{-1/2}} = 1, temos
a_n \sim n^{-7/6}.
E \sum n^{-7/6} é uma p-série com p = 7/6 > 1, que converge. Pelo Critério da Comparação Limite, a série \sum a_n também converge.

Resposta

A série converge.

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