Teste a série quanto a convergência ou divergência.
22. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{tg}(1 / n)}{n}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan(1/n)}{n}.
O conteúdo aqui é análise de séries numéricas, e vamos usar o teste de comparação assintótico (ou de limite) com a série 1/n^2, que sabemos ser convergente (série p de ordem p=2>1).

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação, precisamos de um equivalente para \tan(1/n) quando n\to\infty. Como \tan(x)\sim x para x\to0, temos
\tan\bigl(1/n\bigr)\sim \frac{1}{n}.
Isso significa que, para n grande,
\frac{\tan(1/n)}{n}\sim \frac{1/n}{n}=\frac{1}{n^2}.

Passo 3

Agora calculamos o limite das razões entre os termos da série dada e da série comparadora:
\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{\tan(1/n)}{n}}{\frac{1}{n^2}} =\lim_{n\to\infty}n\,\tan\bigl(1/n\bigr).
Como \tan(x)\sim x, obtemos
\lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{1}{n}=1.
Esse limite é finito e não nulo.

Passo 4

Pelo teste de comparação por limite, se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=L\in(0,\infty)
e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui a_n=\tan(1/n)/n e b_n=1/n^2. Como \sum b_n é convergente, concluímos que a série original converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tan(1/n)}{n} é convergente.

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